Explicar la teoría de conjuntos de Zermelo-Fraenkel en términos del laico

Question

¿Qué es la teoría de conjuntos de Zermelo-Fraenkel?

Según Wikipedia, teoría de conjuntos de Zermelo-Fraenkel es una teoría que se propone superar problemas en teoría de conjuntos ingenua. Realmente aprecio si alguien amablemente puede explicar los conceptos básicos en esta teoría determinada de Zermelo-Fraenkel para que estudiantes de secundaria pueden comprender.

Answer 1

En matemáticas tenemos una idea, un concepto. Por ejemplo, la idea de "conjunto" fue modelado después de la idea de que dos conjuntos son iguales si tienen los mismos miembros.

Si yo la lista de su familia, no importa si estoy en la lista de su padre antes de que la madre, o viceversa. Solo estoy interesado en los miembros. Del mismo modo, si me aparece exactamente a los miembros de su familia, entonces esta es una lista de su familia.

Así fueron los modelos después de esta idea. Pero queremos más de conjuntos, queremos que ellos tengan ciertas propiedades. Y en primer lugar, asumimos que estas propiedades deben estar siempre en posesión, pero resultó que no es una contradicción inherente en la ingenua teoría de conjuntos.

Así que los matemáticos de la década de $20^{\text{th}}$ siglo sugirió axiomas, que son reglas estrictas que los objetos matemáticos llamados "conjuntos" hay que obedecer. Entre los matemáticos no eran Ernst Zermelo y Abraham Fraenkel, después de lo cual la teoría se denomina.

Antes de empezar, permítanme añadir una definición. Dados dos conjuntos, $A$ $B$ nos dicen que $A$ es un subconjunto de a $B$ si todos los miembros de $A$ son miembros de $B$. Por ejemplo, todos los estudiantes de su clase también son estudiantes en su escuela secundaria, por lo que el conjunto de sus compañeros de clase si un subconjunto del conjunto de sus compañeros de clase.

Los axiomas de Zermelo-Fraenkel de la teoría de conjuntos describir las propiedades esperamos que establece que, en un modo matemático. La increíble es que nuestro lenguaje sólo contiene una relación binaria símbolo, $\in$, que es el símbolo de pertenencia. Ahora, recuerde que la teoría de conjuntos sólo se habla de conjuntos, por lo que todos nuestros objetos son conjuntos, incluyendo la de sus miembros. Esto significa que la mayoría de la noción primitiva es la cuestión "Se establece un miembro de ese conjunto?.

Esto puede parecer desconcertante pero podemos codificar los números y los conjuntos de definir todas las matemáticas dentro de este universo, todo esto con sólo la pertenencia a la relación con el trabajo. Los axiomas nos dicen que los conjuntos tienen las siguientes propiedades:

1. Dos conjuntos son iguales si y sólo si tienen los mismos miembros.
2. Si tenemos un conjunto, entonces la colección de todos los de su subconjunto de otro conjunto.
3. Si tenemos un conjunto de conjuntos de $I$, entonces tenemos un conjunto $U$ que es la unión de los conjuntos, es decir, todos los miembros de $I$ son subconjuntos de a $U$, e $U$ es el conjunto más pequeño posible con esta propiedad.
4. Existe un conjunto que no tiene miembros.
5. Si tenemos un subconjunto $x$ propiedad $\varphi$, entonces la colección de todos los miembros de $x$ con la propiedad $\varphi$ es un conjunto.
6. Si podemos describir una función cuyo dominio es un conjunto, entonces su imagen es un conjunto.
7. Existe un conjunto infinito$^*$.
8. En cada set $x$ que no está vacío, no es un miembro de la $y$ que no tiene ningún miembro compartido con $x$.

Esto puede sonar un poco extraño, pero que sirven a una función. Nos dicen que algunos conjuntos existen (conjunto vacío, conjuntos infinitos); nos dicen cómo crear nuevos conjuntos de juegos viejos; nos dicen que cuando dos conjuntos son iguales, y ellos nos dan alguna extraña condición en la membresía de la relación (el último axioma).

Debe señalarse que los axiomas 5 y 6 no son realmente los axiomas. Son esquemas de axiomas. Esto significa que aquellos que son realmente infinitas listas de axiomas que son fáciles de describir formalmente, y un ordenador puede fácilmente verificar si es o no cierta la frase es un axioma de estas listas o no.

Entre las contradicciones que estos axiomas resolver es la dada por Russell, que es descrito por la colección de todos los conjuntos que no son miembros de sí mismos", esta colección no puede ser un conjunto, aunque se le puede describir esta colección. Con nuestros axiomas tenemos que si esta colección es un conjunto, entonces tenemos una contradicción, así que esto no es un juego para empezar.

Pero los axiomas son importantes, porque nos dan un marco rígido para los conjuntos. De lo contrario, sólo pensamos en conjuntos ingenuamente, por lo que cada colección podemos describir debe ser un conjunto, pero Russell colección no puede ser un conjunto. Y esa es la contradicción.

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$^*$ I poco tonto abajo de este axioma, se requiere algo más que un conjunto infinito, pero es más fácil de entender de esta manera. Lo que requerimos es que hay un conjunto que se "ve" como la colección de los números naturales.