¿Es cero impar o par?

Question

Algunos libros dicen que los números pares parten de $2$ pero si consideras el concepto de línea numérica, creo que cero ( $0$ ) debería ser uniforme porque está entre $-1$ y $+1$ (es decir, entre dos números Impares). ¿Cuál es la respuesta real?

Answer 1

Para ello, podemos probar todos los axiomas formulados para los números pares. En este caso utilizaré sólo cuatro.

Nota: En esta pregunta, por mi pereza, utilizaré a menudo $N_e$ para incluso y $N_o$ para impar .

Prueba 1:

Un número par es siempre divisible por $2$ .

Sabemos que si $x,y\in \mathbb{Z}$ y $\dfrac{x}{y} \in \mathbb{Z},$ entonces $y$ es un divisor de $x$ (formalmente $y|x$ ).

Sí, ambos $0,2 \in \mathbb{Z}$ y sí, $\dfrac{0}{2}$ es $0$ que es un número entero. Lo he superado con creces.

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Prueba 2:

$N_e + N_e$ resultados en $N_e$

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Probemos con un número par, por ejemplo $2$ . Si la respuesta es un número par, entonces $0$ pasará esta prueba. $\ \ \ \ \underbrace{2}_{\large{N_e}} + 0 = \underbrace{2}_{N_e} \ \ \ $ así que el cero ha pasado a esta.

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Prueba 3:

$N_e + N_o$ resultados en $N_o$

$0 + \underbrace{1}_{N_o} = \underbrace{1}_{N_o}$

También ha superado esta prueba.

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Prueba 4:

Si $n$ es un número entero de paridad $P$ entonces $n - 2$ también será un entero de paridad $P$ .

Nosotros conozca que $2$ es par, por lo que $2 - 2$ o $0$ también es par.

Answer 2

Sí, la clasificación de los naturales por su paridad (= resto modulo $2\:$ ) se extiende naturalmente a todo enteros: incluso son aquellos enteros divisibles por $ 2,\,$ es decir $\rm\: n = 2m\equiv 0\pmod 2,$ y impar los enteros son los que tienen resto $1$ cuando se divide por $2,\ $ es decir $\rm\ n = 2m\!+\! 1\equiv 1\pmod 2.\,$

La eficacia de esta clasificación paritaria surge del hecho de que es compatible con operaciones aritméticas enteras, es decir, si $\rm\ \bar{a}\ :=\ a\pmod 2\ $ entonces $\rm\ \overline{ a+b}\ =\ \bar a + \bar b,\ \ \overline{a\ b}\ =\ \bar a\ \bar b.\: $ Iterando, deducimos que las igualdades entre expresiones compuestas por estas operaciones enteras (es decir, expresiones polinómicas enteras) son conservado tomando sus imágenes en forma de módulo $2\,$ (y ditto mod $\rm m\,$ para cualquier número entero $\rm m,\,$ Por ejemplo $ $ mod $ 9\,$ rendimientos de reducción $ $ echando nueves ). De este modo, podemos esforzarnos por comprender mejor los números enteros estudiando sus imágenes en los anillos más simples (¡finitos!) $\rm\: \mathbb Z/m\, =\, $ enteros módulo $\rm m.\:$

Por ejemplo, si un polinomio de coeficiente entero tiene una raíz entera $\rm\ P(n) = 0\ $ entonces persiste como un mod raíz $2,\,$ es decir $\rm\ P(\bar n)\equiv 0\ (mod\ 2),\,$ por el Regla de congruencia polinial . Por lo tanto, contrapositivamente, si un polinomio no tiene raíces módulo $\,2\,$ entonces no tiene raíces enteras. Esto nos lleva a la siguiente y sencilla

Prueba de raíz de paridad $\ $ Un polinomio $\rm\:P(x)\:$ con coeficientes enteros no tiene raíces enteras
cuando su coeficiente constante $\,\rm P(0)\,$ y la suma de coeficientes $\,\rm P(1)\,$ son ambos Impares.

Prueba $\ $ La prueba verifica que $\rm\ P(0) \equiv P(1)\equiv 1\ \ (mod\ 2),\ $ es decir que $\rm\:P(x)\:$ no tiene raíces mod $2$ por lo que, como se ha argumentado anteriormente, no tiene raíces enteras. $\quad$ QED

Así que $\rm\, a x^2\! + b x\! + c\, $ no tiene raíces enteras si $\rm\,c\,$ es impar y $\rm\,a,b\,$ tienen la misma paridad $\rm\,a\equiv b\pmod 2$

Compárese la concisión de esta prueba con la confusa reformulación que resultaría si tuviéramos que restringirla a los enteros positivos. Entonces ya no podríamos representar las ecuaciones polinómicas en la forma normal $\rm\:f(x) = 0\:$ sino que tendríamos que considerar las igualdades generales $\rm\:f(x) = g(x)\:$ donde ambos polinomios tienen positivo coeficientes. Ahora la prueba sería mucho más confusa, bifurcándose en casos variopintos. De hecho, históricamente, antes de la aceptación de los enteros negativos y del cero, la fórmula para la solución de una ecuación cuadrática se enunciaba de forma análoga ofuscada - implicando muchos casos. Pero al extender los naturales al anillo de los enteros somos capaces de unificar lo que antes eran casos abigarrados y separados en un solo universal método de resolución de una ecuación cuadrática general.

Existen ejemplos análogos a lo largo de la historia que sirven para motivar las razones que hay detrás de diversas ampliaciones del sistema numérico. El estudio de la historia de las matemáticas ayudará a apreciar mucho mejor las motivaciones de las sucesivas ampliaciones de la noción de "sistemas numéricos", por ejemplo, véase Kleiner: De los números a los anillos: la historia temprana de la teoría de los anillos.

El anterior no es más que uno de los muchos ejemplos en los que "completar" una estructura de alguna manera sirve para simplificar su teoría. Tales ideas motivaron muchas de las extensiones de los sistemas numéricos clásicos (así como el concepto análogo de completaciones geométricas y topológicas, por ejemplo, la adición de puntos en $\infty$ (cierre proyectivo, compactación, finalización del modelo, etc.). Para algunas exposiciones interesantes sobre estos métodos, véase el referencias aquí.

Nota $\: $ Observaciones análogas (sobre la potencia obtenida al normalizar las ecuaciones a la forma $\ldots = 0\:$ ) son válidas de forma más general para cualquier estructura algebraica cuyas congruencias estén determinadas por ideales -los llamados ideal determinado variedades, por ejemplo, véase mi publicar aquí y ver Gumm y Ursini: Ideales en álgebras universales . Sin el cero y los números negativos (inversiones aditivas) no podríamos reescribir expresiones en formas normales tan concisas y no tendríamos disponibles algoritmos tan potentes como el algoritmo de la base de Grobner, las formas normales de Hermite/Smith, etc.

Answer 3

Este problema surgió, por ejemplo, durante la Prohibición de coches en Pekín para los Juegos Olímpicos de 2008 donde los coches con matrícula impar estaban prohibidos un día, y al día siguiente incluso.

La elección es entre:

• El 0 es par y no impar,
• El 0 es impar y no es par,
• 0 es a la vez par e impar,
• 0 no es ni par ni impar (como el infinito o $\pi$ ) o
• Al 0 se le asigna un título único (como al 1 se le llama "unidad", ni primo ni compuesto).

Se trata de una cuestión de definición, por lo que, aunque se podría definir 0 como cualquiera de los anteriores, lo mejor es elegir la definición que será la más consistente con el uso de "par" e "impar" para los números distintos de 0.

Dejemos que $W=\{2,4,6,\ldots\}$ , $V=\{1,3,5,\ldots,\}$ y veamos las propiedades de los números pares e Impares en estos conjuntos que conocemos.

• Un número es par o impar, y no ambos.
• Si $w,x \in W$ entonces $w+x \in W$ (par + par = par).
• Si $w \in W$ y $v \in V$ entonces $w+v \in V$ (even + impar = impar).
• Si $y,v \in V$ entonces $y+v \in W$ (impar + impar = par).

[y probablemente muchos otros que he olvidado escribir aquí]

Por lo tanto, sería deseable que, cualquiera que sea la definición que elijamos para 0, conserve las propiedades anteriores. Ahora digamos que dejamos que 0 sea impar (los casos segundo y tercero mencionados anteriormente). Entonces nuestra definición no es consistente con estas propiedades. Por lo tanto, si elegimos definir 0 como impar, deberíamos tener algunos beneficios sustanciales para compensar las pérdidas. Por otro lado, definir que 0 es par y no impar es consistente con las propiedades anteriores.

Las dos últimas definiciones candidatas están diciendo esencialmente que no hay una forma consistente de definir lo par o lo impar a 0. Pero en este caso, sí la hay -- 0 es par y no impar.

Nota: También tenemos la propiedad de que los elementos de W son todos divisibles por 2, pero el hecho de que 0 sea o no divisible por 2 es otra cuestión de definición, para la que deberíamos aplicar de nuevo el concepto de "cuál es la definición más sensata"].

Answer 4

La respuesta real depende de la definición, porque hay etiqueta matemática-histórica invocada hubo un tiempo que $1$ no se consideraba un número impar, $0$ y los números negativos seguro que no se consideran pares o Impares. Históricamente el concepto se definía sólo para los números naturales.

En estos días el conjunto de todos los enteros multiplicados por $2$ se considera el conjunto de los números pares, es decir $\dots,-4,-2,0,2,4,\dots$ y todos los enteros que no están en ese conjunto se definen como impar.

No hay una respuesta real, todo depende de la definición, del mismo modo que el libro sólo trata de los números naturales y no de los enteros. El concepto se extendió de los naturales a los enteros, pero hay incontables maneras de definir los pares y los impares más allá de los números naturales. Sólo asegúrese de que los demás sepan qué definición está utilizando para etiquetar algo par o impar.

Answer 5

¡SI! El cero es un número par. Aquí es la explicación del Dr. Math.

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Esto parece ser un asunto de confusión para muchos otros alrededor de este planeta, siempre se puede preguntar google por su confusión.