¿Cómo integrar $(x+2)\ln(x-3)$?

Question

Tengo $$\left(\frac {x^2}{2} +2x\right)\ln(x-3)-\left(\frac {x^2}{4}-\frac {7x}{2} -\frac {21}{2}\right)\ln(2x-6)$ $ como mi respuesta... No estoy seguro si tengo derecho. Por favor me corrijan, gracias!

Answer 1

Sugerencia. Usted puede usar una integración por partes $$\begin{align} \int(x+2)\ln(x-3)\:dx&=\frac12(x+2)^2\ln (x-3)-\frac12\int\frac{(x+2)^2}{x-3}\:dx \\\\&=\frac12(x+2)^2\ln (x-3)-\frac12\int\frac{(x+7)(x-3)+25}{x-3}\:dx \\\\&=\frac12(x+2)^2\ln (x-3)-\frac12\int\left(x+7+\frac{25}{x-3}\right)\:dx. \end {Alinee el} $$ entonces concluir fácilmente.

Answer 2

$\displaystyle \int (x+2)\ln(x-3)dx=\int x\ln(x-3)dx+\int 2\ln(x-3)dx$

Tenga en cuenta que hacemos uso de la fórmulas $\displaystyle\int \ln u du=u\ln u-u+C$ y $\displaystyle\int u\ln udu=\frac{1}{4}u^2(2\ln u-1)+C$, que puede ser demostrado mediante integración por partes.

Para la primera integral, que $u=x-3$ y $du=dx$

Esto produce $\displaystyle\int (u+3)\ln udu=\int (u\ln u+3\ln u )du=\frac{1}{4}u^2(2\ln u-1)+3u\ln u-u+C_1=\frac{1}{4}(x-3)^2(2\ln (x-3)-1)+3(x-3)\ln (x-3)-(x-3)+C_1$

Para la segunda integral, que $u=x-3$ y $du=dx$

Esto produce $\displaystyle2\int \ln u du=2u\ln u-2u+C_2=2(x-3)\ln (x-3)-2(x-3)+C_2.$

Por lo tanto $$\displaystyle \int (x+2)\ln(x-3)dx=\frac{1}{4}(x-3)^2(2\ln (x-3)-1)+3(x-3)\ln (x-3)-(x-3)+2(x-3)\ln (x-3)-2(x-3)+C$ $

Usted puede simplificar aún más la primitiva, pero esta sería la estrategia general para la integración.

Answer 3

Debe ser %#% $ #%

Answer 4

$$\int(x+2)\ln(x-3)\space\text{d}x=\int(x\ln(x-3)+2\ln(x-3))\space\text{d}x=$$ $$\int x\ln(x-3)\space\text{d}x+2\int\ln(x-3)\space\text{d}x=$$

---

Sustituto $u=x-3$ y $\text{d}u=\text{d}x$

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$$\int(u+3)\ln(u)\space\text{d}u+2\int\ln(u)\space\text{d}u=$$ $$\int(u\ln(u)+3\ln(u))\space\text{d}u+2\int\ln(u)\space\text{d}u=$$ $$\int u\ln(u)\space\text{d}u+3\int\ln(u)\space\text{d}u+2\int\ln(u)\space\text{d}u$$

Ahora, para encontrar $\int u\ln(u)\space\text{d}u$ utilizar integración por las piezas, con:

$$\int f\space\text{d}g=fg-\int g\space\text{d}f$$

Donde $f=\ln(u),\text{d}g=u\space\text{d}u,\text{d}f=\frac{1}{u}\space\text{d}u,g=\frac{u^2}{2}$

Ahora, para encontrar $\int\ln(u)\space\text{d}u$ utilizar integración por las piezas, con:

$$\int f\space\text{d}g=fg-\int g\space\text{d}f$$

Donde $f=\ln(u),\text{d}g=\text{d}u,\text{d}f=\frac{1}{u}\space\text{d}u,g=u$

Answer 5

Con $u=\ln(x-3)$, $du = \frac{1}{x-3} dx$, $dv = (x-3) dx$, $v = \left(\frac{x^2}{2}+2x\right)$,

$$ \int (x+2) \ln(x-3) dx = \left(\frac{x^2}{2}+2x\right) \ln(x-3) - \int \frac{1}{x-3} \left(\frac{x^2}{2}+2x\right) dx \\ = \left(\frac{x^2}{2}+2x\right) \ln(x-3) - \int \frac{1}{w} \left(\frac{(w+3)^2}{2}+2(w+3)\right) dw \\ = \left(\frac{x^2}{2}+2x\right) \ln(x-3) - \int \frac{1}{w} \left(\frac{w^2+6w+9}{2}+2w+6)\right) dw \\ = \left(\frac{x^2}{2}+2x\right) \ln(x-3) - \int \left( \frac{1}{2}w + 5 +\frac{21}{2} \right)dw \\ = \left(\frac{x^2}{2}+2x\right) \ln(x-3) - \frac{w^2}{4} -5 w - \frac{21}{2} \ln w + C\\ = \left(\frac{x^2}{2}+2x\right) \ln(x-3) - \frac{(x-3)^2}{4} -5 (x-3) - \frac{21}{2} \ln (x-3) + C\\ = \left(\frac{x^2}{2}+2x - \frac{21}{2}\right) \ln(x-3) - \frac{(x-3)^2}{4} -5x + C$$

EDIT: Aquí's cómo usted puede verificar si su respuesta es correcta.