¿Cuál es la diferencia principal entre la paradoja de Russell y cualquier prueba negativa?
En Russell paradoja que estamos proponiendo la existencia del conjunto de todos los establece no se contiene y llegando a la contradicción. Esto significa simplemente que el conjunto no existe y nada más.
¿Por qué decimos que esto significa algo malo sobre la ingenua teoría de conjuntos?
En la ingenua teoría de conjuntos, afirman que es posible construir sistemas diciendo que los elementos que contiene y que no (todos los elementos de universum tienen que satisfacer algún tipo de regla o predicado en conjunto). Y la definición de conjunto de Russel es totalmente correcta en teoría ingenua, porque dice claramente, que los elementos que contiene y que no. Ya está bien definida en la ingenua teoría de conjuntos, pero conduce a una contradicción, obtenemos una paradoja.
Ingenuo de la teoría de conjuntos fue (la mayor parte) centrada en torno a la noción de sin restricciones de Comprensión: Dado cualquier propiedad $\mathcal{P}$ existe un conjunto cuyos elementos son precisamente los objetos $x$ la satisfacción de la propiedad $\mathcal{P}$. Una perfectamente buena propiedad matemática sería "$x$ es un conjunto y no es un elemento de sí mismo," y así debe haber un conjunto $R$ cuyos elementos son exactamente los conjuntos que no son elementos de sí mismos. Este es Russell paradójico conjunto.
Por lo $R$ demostrado que sin restricciones de Comprensión fue inconsistente, y por lo tanto tenemos para no permitir la construcción de este "set" $R$, pero todavía permiten la construcción de interesantes conjuntos. Podríamos, por supuesto, simplemente decir que Unrestriction Comprensión está bien, excepto por este conjunto. Sin embargo, usted puede todavía llegar a la Burali-Forti paradoja. Así que tal vez nosotros también no permitir la construcción de esta problemática conjunto. Pero no va a ser aún más problemático conjuntos. En cualquier caso, parece ser imposible demostrar que simplemente rechazando la construcción de conjuntos de aparecer en la lista de los conocidos "paradójico" propiedades de que el resultado de la teoría se vuelve constante.
Mucho mejor sería describir los principios de construcción que parece no permitir la construcción de estas paradójicas conjuntos. El más común axiomatization ahora, ZFC, tiene el siguiente resultado:
Hecho: Si ZFC es consistente, entonces no hay ningún conjunto de todos los conjuntos. (Esto es cierto incluso para un muy pequeño fragmento de ZFC.)
Prueba: Si hay un conjunto de todos los conjuntos, se $V$, luego por el Axioma Esquema de Separación se puede construir el conjunto $W = \{ x \in V : x \notin x \}$. Sin embargo, como $W$ es un conjunto, entonces $W \in V$, y de ello se sigue que $W \in W$ fib $W \notin W$! $\Box$
Desafortunadamente, debido a ciertas increíble teoremas de Kurt Gödel, no podemos demostrar que ZFC es consistente (sin trascender ZFC) y así no hay ninguna prueba de que ZFC no en el hecho de evitar todos los paradójico conjuntos. Pero después de varias décadas de intensa investigación no ha dado origen a contradicciones, así que es justo decir que la mayoría de los set-teóricos creen en la consistencia de ZFC.
En la ingenua teoría de conjuntos, la paradoja de Russell es una prueba positiva completa del absurdo. No hay nada negativo acerca de la prueba (como suponiendo que al contrario de lo que está por ser probada), pero si quieres prover lo absurdo, lo haces por que llega a una contradicción; Esta es la esencia del absurdo. Tener una prueba de lo absurdo, la teoría de la uno está trabajando (aquí ingenua teoría determinada) es claramente inconsistente, y en realidad podría ser cualquier cosa que usted puede formular en él.
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