Una función $f:[0,1]\to \mathbb R$ de variación acotada y absolutamente continua en $[\epsilon,1]$ para todos $\epsilon >0$ es absolutamente continua

Question

Parece que no encuentro una versión de este problema en el sitio, pero estoy seguro de que este es un tipo de pregunta bastante estándar.

$f$ sea de variación acotada en $[0,1]$ y $f$ es absolutamente continua (AC) en $[\varepsilon,1]$ para todos $\varepsilon >0$ y $f$ es continua en $0$ . Ahora el objetivo es demostrar $f$ es absolutamente continua en todo el intervalo $[0,1]$ .

Además estoy buscando un contraejemplo en el caso de que la variación acotada de $f $ es abandonado.

Esto es lo que pienso,

Usando la continuidad, puedo encontrar $\delta>0$ para un determinado $\epsilon >0$ que limita la suma en la definición de AC hasta $\delta$ . Entonces, en el intervalo $[\delta,1]$ Puedo utilizar la hipótesis dada. Pero no me siento totalmente cómodo escribiendo esto con rigor.

Para el ejemplo del contador puedo utilizar $f(0)=0$ y $f(x)= x\sin (1/x)$ para $x$ no es igual a $0$ . Me encantaría ver la prueba rigurosa y la prueba rigurosa del contraejemplo. Gracias de antemano.

Answer 1

Esto es por la parte del contraejemplo. Si $f$ es absolutamente continua en $[0,1]$ es de variación acotada. Por lo tanto, ser de variación acotada es una condición necesaria para la conclusión. Cualquier función que no sea no sea de variación acotada pero satisfaga las demás hipótesis proporcionará un contraejemplo.

Como ha indicado, la función $f(0)=0$ y $f(x)=x\sin(1/x)$ para $x\ne 0$ no es de variación acotada en $[0,1]$ . Esto se puede ver evaluando $f$ en los puntos donde $\sin$ est $1$ o $-1$ , a saber $x={1\over\pi(2k+1/2)}$ y $x={1\over\pi(2k+3/2)}$ . De ello se deduce que la variación total de $f$ en $[0,1]$ es al menos igual a una constante por la suma de una serie armónica, que diverge. Así que $f$ no es de variación acotada.

EDIT: La función $f$ anterior también es continua en $0$ y es absolutamente continua en cada intervalo $[\varepsilon,1]$ para $\varepsilon>0$ . Esto último se deduce del hecho de que que en cada uno de esos intervalos $f$ tiene una derivada acotada. (Aplicar el teorema del valor medio a cada subintervalo en la definición de continuidad absoluta).