Aplicaciones de cálculo II al mundo real

Question

Muchos de mis estudiantes II de calc me preguntan ¿Cuáles son las aplicaciones del mundo real de lo que estamos estudiando en Calc II (justo ahora estamos estudiando los métodos de integración, por lo que por supuesto una de las aplicaciones es en la búsqueda de áreas y volúmenes, existen otras aplicaciones cool? Me refiero a algo que se explica de forma sencilla a un estudiante II calc). Más adelante estudiaremos series y secuencias. Justo estoy buscando maneras de recoger el interés de mis alumnos, ¿tienes alguna idea?

Answer 1

Análisis de Fourier es una serie muy útil de estudio basado en la idea de integración definida. Es, de hecho, la Fundación de procesamiento digital de señales. El Fourier discreto transforma se utiliza para procesar señales digitales en todo el mundo. Para usarlo en su iPod, su computadora portátil y televisor. Se define por:

$$\hat f(\xi) = \int_{-\infty}^{\infty} f(x) e^{2 \pi ix \xi} dx$$

Donde $\xi$ es una frecuencia en Hertz.

Answer 2

Es difícil encontrar aplicaciones del mundo real de cálculo II que no están en un libro ya. Aquí hay algunas aplicaciones interesantes:

• Explicar cómo se puede escribir movimiento circular en formato vectorial como $r(t) = (\cos(\omega t), \sin(\omega t))$. Entonces es directa para derivar la fuerza centrípeta utilizando el cálculo - esto no suele ser derivados en física de la escuela secundaria.

• Hablar de los manantiales y el movimiento armónico simple y su ecuación diferencial. Mostrar la solución. Definir la cinética y la energía potencial y demostrar lo que son para el movimiento armónico simple. Demuestre que la energía total se conserva, mostrando a la derivada de la suma de la cinética y la energía potencial es cero.

• Dar ejemplos de algunos de disco duro y no evidentes problemas de optimización que no están en el libro. Hablar de la brachistochrone problema y su solución, la cual es una cicloides. No ser capaz de resolverlo pero se puede decir que es resuelto uso de un mayor nivel de cálculo (específicamente cálculo de variaciones). También se utiliza para reformular todas las de la mecánica utilizando Lagrangians.

Lo siento, no encontrar enfriador de aplicaciones. Pero aquí hay algunas aplicaciones interesantes/teoremas y ejemplos dentro de las matemáticas:

• Definir la función Gamma. Use integración por partes para mostrar que es el mismo que el de un factorial para valores enteros.

• Probar que si $f'' + f = 0$, $f(x) = a\sin(x) + b\cos(x)$ (he leído una buena prueba de Spivak del Cálculo). Esta es también la ecuación diferencial de un movimiento armónico simple que he mencionado anteriormente.

• Demostrar que $e$ es irracional el uso de su expansión de la serie (en realidad un corto de prueba y no es difícil de seguir).

• Prueba usando teorema de Rolle que si $f' = 0$ todos los $x$, $f$ es una función constante - esto se da por hecho sin pruebas.

• Mostrar que una función puede tener un derivado en un solo punto: $f(x) = x^2$ racional, $x$ $-x^2$ para irracional $x$. A continuación, $f'(0) = 0$

• Muestran que una derivada de una función puede ser discontinua: $f(x) = x^2 \sin(1/x)$. A continuación, $f'$ no es continua en a $0$.

• Muestran que algunas funciones no son derivados de cualquier otra función: $f(x) = 0$ todos los $x$ con la excepción de $f(0) = 1$. A continuación, $f$ no puede ser un derivado.

Answer 3

Como se ha dicho en otra parte, hay carga de aplicaciones a la mecánica clásica y electromagnetismo (estática y dinámica). tylerc0816 menciona las estadísticas, que es grande, pero un montón de se parece a la magia negra sin conocimientos más avanzados (que aún no tiene).