Nota. Reescritura sustancial realizada el 2014-05-31.
Creo que la respuesta es sí, sin el requisito de la invariancia de difeomorfismo, como había afirmado en un principio.
La prueba.
Consideremos una QFT descrita por una acción clásica $S$ y que contiene un campo de 4 vectores $A$ . Para cualquier difeomorfismo $f$ en $\mathbb R^{3,1}$ definimos un campo transformado $A_f$ de la forma habitual; \begin{align} A_f^\mu(f(x)) = \frac{\partial f^\mu}{\partial x^\alpha}(x) A^\alpha(x). \end{align}
Además, para cualquier función $\mathscr F$ de este campo vectorial, definimos su valor de expectativa como la siguiente integral funcional: \begin{align} \langle \mathscr F\rangle = \int [dA] e^{-S[A]} \mathscr F[A]. \end{align} Las funciones de correlación $\langle A^\mu(x_1)A^\nu(x_2)\rangle$ y $\langle A_f^\mu(f(x_1))A_f^\nu(f(x_2))\rangle$ se definen como casos especiales de esta construcción calculando los valores de las expectativas de los funcionales \begin{align} \mathscr C^{\mu\nu}(x_1, x_2)[A] &:= A^\mu(x_1)A^\nu(x_2),\\ \mathscr C_f^{\mu\nu}(x_1, x_2)[A] &:= A_f^\mu(f(x_1))A_f^\nu(f(x_2)), \end{align} por lo que tenemos \begin{align} \langle A_f^\mu(f(x_1))A_f^\nu(f(x_2))\rangle &= \int [dA] e^{-S[A]} A_f^\mu(f(x_1))A_f^\nu(f(x_2)) \\ &= \int [dA] e^{-S[A]} \frac{\partial f^\mu}{\partial x^\alpha}(x_1) A^\alpha(x_1) \frac{\partial f^\nu}{\partial x^\beta}(x_2) A^\beta(x_2)\\ &= \frac{\partial f^\mu}{\partial x^\alpha}(x_1)\frac{\partial f^\nu}{\partial x^\beta}(x_2)\int [dA] e^{-S[A]} A^\alpha(x_1) A^\beta(x_2)\\ &= \frac{\partial f^\mu}{\partial x^\alpha}(x_1)\frac{\partial f^\nu}{\partial x^\beta}(x_2)\langle A^\mu(x_1)A^\nu(x_2)\rangle \end{align} En otras palabras, el resultado deseado se deriva simplemente de la linealidad de la integral funcional.
Nota sobre la invariancia del difeomorfismo.
En mi respuesta original, había afirmado que la invariancia del difeomorfismo era necesaria para el resultado anterior, pero creo que estaba equivocado, como demuestra el cálculo anterior.
Sin embargo, tengo algo relevante que decir sobre la invariancia del difeomorfismo. Lo que demostramos anteriormente es que la función de dos puntos se transforma como un dos-tensor. Eso no requería invariancia de difeomorfismo; la invariancia de difeomorfismo nos da una restricción diferente sobre la función de dos puntos.
Observe que si la medida de integración funcional $[dA]$ es invariante por difeomorfismo, es decir, si $[dA_f] = [dA]$ y si la acción clásica es invariante del difeomorfismo, es decir, si $S[A_f] = S[A]$ entonces, además del cálculo anterior, también tenemos \begin{align} \langle A_f^\mu(f(x_1))A_f^\nu(f(x_2))\rangle &= \int [dA] e^{-S[A]} A_f^\mu(f(x_1))A_f^\nu(f(x_2)) \\ &= \int [dA_f] e^{-S[A_f]} A_f^\mu(f(x_1))A_f^\nu(f(x_2)) \\ &= \int [dA] e^{-S[A]} A^\mu(f(x_1))A^\nu(f(x_2)) \\ &= \langle A^\mu(f(x_1))A^\nu(f(x_2))\rangle. \tag{$\star$} \end{align} Si combinamos esto con la propiedad demostrada anteriormente sobre la naturaleza bitensorial de la función de dos puntos, entonces tenemos la siguiente restricción que codifica la invariancia de difeomorfismo: \begin{align} \frac{\partial f^\mu}{\partial x^\alpha}(x_1)\frac{\partial f^\nu}{\partial x^\beta}(x_2)\langle A^\mu(x_1)A^\nu(x_2)\rangle = \langle A^\mu(f(x_1))A^\nu(f(x_2))\rangle \end{align} Compárese con la ec. (2.148) de Di-Franceso et. al. Teoría conforme de campos .
El punto principal es que la transformación de dos tensores de la función de dos puntos es una consecuencia inmediata de la linealidad de la integral funcional, pero si queremos una propiedad como $(\star)$ , entonces también necesitamos invariancia de difeomorfismo de la acción clásica y de la medida de integración funcional.
