Por favor alguien puede revisar mi trabajo? Es un ejercicio de Barret O'Neill Elemental de la Geometría Diferencial. Realmente quiero estar seguro de que mi entendimiento de este derecho. Veo que las formas $\mathrm{dx, dy, dz}$ trabajo como en las proyecciones del vector parte, y las funciones de la multiplicación de estos formularios se evalúan en el punto en cuestión. Estoy dado el vector tangente $v_p = (1,2,-3)_p$ donde $p = (0,-2,1)$ Debo evaluar algunas de las formas en $v_p$. Mi trabajo:
a) $y^2~ \mathrm{dx}$. $$\begin{align} (y^2 ~\mathrm{dx})(v_p) &= (-2)^2 \cdot \mathrm{dx}(1,2,-3) \\ &= 4 \cdot 1 \\ &= 4 \end{align}$$
b) $z~ \mathrm{dy} - y~ \mathrm{dz}$. $$\begin{align} (z~ \mathrm{dy} - y~ \mathrm{dz})(v_p) &= 1 \cdot \mathrm{dy}(1,2,-3) - (-2) \cdot \mathrm{dz}(1,2,-3) \\ &= 2 + 2 \cdot (-3) \\ &= -4 \end{align}$$
c) $ (z^2 - 1) ~\mathrm{dx} - \mathrm{dy} + x^2~ \mathrm{dz}$. $$\begin{align} \left((z^2 - 1)~ \mathrm{dx} - \mathrm{dy} + x^2 ~ \mathrm{dz} \right)(v_p) &= (1^2 - 1) \cdot \mathrm{dx}(1, 2,-3) - \mathrm{dy}(1,2,-3) + 0^2 \cdot \mathrm{dz}(1,2,-3) \\ &= - 2 \end{align}$$
Gracias.
