El papel del Rigor

Question

El propósito de esta pregunta es para preguntar sobre el papel de la matemática rigor en la física. En orden a formular una pregunta que puede ser contestada, y no solo se discute, he dividido este gran problema en cinco preguntas específicas.

1) ¿cuáles son los más importantes y el más antiguo de los conocimientos (conceptos, resultados) de la física que aún carecen de rigurosa formulación matemática/pruebas.

2) El esfuerzo de matemática rigurosa explicaciones, formulaciones y pruebas de nociones y resultados de la física es tomada principalmente por los matemáticos. ¿Cuáles son los ejemplos de que este esfuerzo era beneficioso para la física en sí.

3) ¿cuáles son los ejemplos que insistir en el rigor retrasado el progreso de la física.

4) ¿cuáles son los ejemplos de que la matemática sólida comprensión de ciertos temas de la física de vino de más developements en física en sí. (En particular, estoy interesado en los casos donde matemática rigurosa comprensión de los problemas de la mecánica clásica requiere cuántica mechenics, y también en los casos donde el progreso de la física fue crucial para matemática rigurosa de las soluciones de las preguntas de matemáticas no se originó en la física.)

5) El papel de rogor es intensly discutido en los populares libros y blogs. Por favor suministro de referencias (o mejor anotado referencias) para estudios académicos de la función de rigor matemático de la física moderna.

(Por supuesto, yo también agradecidos a las respuestas que elaborar en un solo elemento relacionado a una sola pregunta de estas cinco preguntas).

Relacionadas con las Matemáticas de Desbordamiento de preguntas: Ejemplos-de-no-riguroso-pero-eficiente-matemática-métodos-en-la física (relacionada a la pregunta 1); Ejemplos-de-uso-física-intuición-para-resolver-matemáticas-problemas; Demostrando-que-en rigor-es-importante

Answer 1

El Rigor, la claridad de los conceptos y la precisión de los argumentos. Por lo tanto, en la final no hay duda de que queremos rigor.

Para llegar allí tenemos la libertad para la especulación, en primer lugar, pero por una buena especulación que necesitamos...

...sólida de la tierra, que es la única planta que sirve como un buen punto de partida para una nueva especulación.

en las palabras de nuestra revisión, que es todo acerca de este tema.

A veces, los físicos se comportan es si el rigor es todo acerca de la sustitución de una evidente pero no precisa argumento con un tedioso y aburrido prueba. Pero más a menudo que no, el rigor acerca de la identificación de la clara y precisa las definiciones obvio que el argumento se vuelve también sin duda correcta.

Hay muchos ejemplos en la historia.

Por ejemplo, la simple noción de formas diferenciales y exterior derivados. No es una gran cosa en el final, pero cuando se introdujo en la física no sólo proporcionan rigor para una multitud de vagos argumentos acerca de la variación infinitesimal y ampliado la cantidad. Tal vez lo más importante, se aclaró la estructura. Maxwell todavía llenos de dos páginas con las ecuaciones del electromagnetismo en un momento en que incluso los conceptos de álgebra lineal fueron un arcano misterio. Hoy podemos decir $d \star d A = j_{el}$ y ver más allá, por ejemplo, derivar la carga de la cuantización de la ley rigurosamente con hijo facilidad. La clara y precisa del concepto es lo que hace esto por nosotros.

Y mientras probaby ingenieros podrían (y tal vez hacer?) trabajo el uso de Maxwell conceptos originales, los teóricos habría sido atrapado. Uno no puede ver las sutilezas de la auto-dual de mayor calibre de la teoría, por ejemplo, sin el riguroso concepto de de Rham de la teoría.

Hay muchos más ejemplos como este. Aquí es otro: racional CFT fue "completamente entendido" y declaró resuelto en una rigurosa durante un largo tiempo. Cuando de la rigurosa FRS-clasificación de lleno racional CFT fue establecido, no onyl resultó que algunas de las supuestas racional CFT de la construcción en la literatura no existen en la realidad, mientras que el otro existía, y que se había perdido, lo que es más importante fue: de repente fue muy claro por qué y cuál de estos ejemplos existen. Basado en el sólido fundamento de este nuevo rigor, ahora es mucho más fácil a la base nueva no-argumentos rigurosos que van mucho más allá de lo que se podría hacer antes. Por ejemplo, sobre el comportamiento racional de CFT en la holografía.

El Rigor acerca de la claridad y la precisión, la cual es necesaria para ver más. Como Ellis Cooper acaba de decir en otro lugar:

Rigor limpia la ventana a través de la cual la intuición brilla.

Answer 2

Todavía creo que no es el lugar adecuado para este tipo de preguntas. Sin embargo, el tema en sí es interesante, y también voy a tener una oportunidad. Ya que yo no soy ni un filósofo de la ciencia, ni un historiador (y es muy probable que muy pocas personas en este sitio, una de las razones por las que esta cuestión podría no ser adecuado), me centraré en mi propio ámbito restringido, la física estadística.

1) Hay muchos. Por ejemplo, una adecuada riguroso de la derivación de la ecuación de Boltzmann, el mejor resultado para este día, el resto de la célebre teorema de Lanford demostrado en la década de 1970. En el equilibrio de la mecánica estadística, uno de los principales problemas es la prueba de que las dos dimensiones de la $O(N)$ modelos tienen exponencialmente en descomposición correlaciones en todas las temperaturas al $N>2$ (se supone una relación estrecha entre estos modelos, y de cuatro dimensiones medidor de modelos, y este problema podría arrojar luz sobre la cuestión de la libertad asintótica en QCD, consulte este artículo para un análisis crítico de estas cuestiones). Por supuesto, hay muchos otros, como tratando de entender por qué ingenuo espacio real renormalization (es decir, la aniquilación) de celosía spin sistemas proporciona razonablemente precisa de los resultados (a pesar de que tales transformaciones son conocidos generalmente mal definidos matemáticamente); pero a mí me parece que es poco probable que suceda, lo cual no significa que la filosofía de la renormalization grupo no pueden encontrar usa en la física matemática (que ya ha conducido a varias profundo de los resultados).

2) Bien, un ejemplo importante fue modelo de onsager riguroso cálculo de la energía libre de la 2d del modelo de Ising, que mostraron que todos los que la aproximación de los sistemas utilizados por los físicos en ese momento estaban dando completamente equivocado predicciones. Rigor de los resultados también puede conducir a la (i) nuevos enfoques para viejos problemas (este es el caso recientemente con SLE), (ii) nuevos resultados que no eran conocidos por los físicos (este es el caso, por ejemplo, los resultados de Johansson y otros en los modelos de crecimiento), (iii) una mucho mejor comprensión de los complejos fenómenos (por ejemplo, el equilibrio de las propiedades de los fijos de la magnetización de los modelos de Ising), (iv) asentamiento de controversias en la física de la literatura (un ejemplo famoso fue el problema de la determinación de la menor dimensión crítica del azar-el campo modelo de Ising, que fue objeto de acalorados debates en la década de 1980, y fue rigurosamente resuelto por Bricmont y Kupiainen).

3) Ninguna, que yo sepa. Aunque, se podría decir que las "paradojas" levantado en contra de Boltzmann la teoría de Zermelo y Loschmidt fueron tanto de matemática de la naturaleza (y por lo tanto criticó la aparente falta de rigor de Boltzmann del enfoque), y lo hizo retrasar la aceptación de sus ideas.

4) No está seguro acerca de este punto. Sin duda las numerosas conjeturas procedentes de la física, en particular sorprendentes predicciones, proporcionan la motivación, y a veces un cierto grado de conocimiento para los matemáticos... Pero no estoy seguro de que es lo que están pidiendo.

5) muchos de los documentos de debate sobre temas de este tipo, por ejemplo:

• "Teórica": Hacia una síntesis cultural de las matemáticas y la física teórica, por Arthur Jaffe y Frank Quinn, Bull.Am.De matemáticas.Soc. 29 (1993) 1-13.
• Es Matemático, el Rigor Necesario en la Física?, por Kevin Davey, La Revista Británica para la Filosofía de la Ciencia (2003), Volumen: 54, Edición: 3, Páginas: 439-463.

y las referencias allí contenidas.

Answer 3

Que de ninguna manera puede reclamar para dar una respuesta completa a esta pregunta, pero tal vez una respuesta parcial es mejor que no tener ninguna respuesta en absoluto.

En cuanto a (1) tal vez el ejemplo más famoso es la ecuación de Navier-Stokes. Sabemos que produce muy buenos resultados para el modelado de flujo de fluido, sino que ni siquiera se puede demostrar que siempre existe una solución. De hecho, no es una Arcilla premio va para la prueba de la existencia de suave soluciones en $\mathbb{R}^3$ (declaración del problema aquí).

Un ejemplo de (2) es que el estudio topológico de la teoría cuántica de campos ha sido motivado, al menos en parte a través de las matemáticas.

En cuanto a (3) yo realmente no creo que esto ha sucedido. Sin embargo, con esto no quiero decir que la exigente rigor no prevenir o retrasar la progresión de la física, sino que parece extremadamente difícil encontrar un ejemplo de un caso en el que una parte relativamente grande de la comunidad no solo ha ignorado cualquier demanda. Ciertamente es verdad que matemáticamente riguroso formulaciones a menudo siguen muy por detrás del actual estado del arte en la física, pero no hay nada inesperado acerca de esto.

Actualmente no tiene ninguna buena respuesta al resto de tu pregunta.

Hay una relativamente interesante ensayo sobre este (C. Vafa - Sobre el futuro de las matemáticas/física de interacción) en Matemáticas: Fronteras y Perspectivas, que se menciona también la TQFT ejemplo.