Teoría de los grupos : ¿Qué es? $Ha \ne Hb$ ?

Question

Como principiante de la Teoría de Grupos, me quedé con la siguiente pregunta:

Supongamos que $H$ es un subgrupo de $G$ de manera que siempre que $Ha \ne Hb \space ,$ entonces $aH \ne bH$ . $(a,b \in G)$ Demostrar que $gHg^{-1} \subset H \space\space\forall g\in G$ .

Mi primero la duda es qué implica exactamente $Ha \ne Hb$ en la pregunta anterior? ¿Significa esto que $$whenever \space ha\ne hb , ah\ne bh \space \forall\space h\in H$$ $$OR$$ $$whenever \space h_1a\ne h_2b , ah_1\ne bh_2 \space \forall \space h_1,h_2 \in H \space ?$$

No sé si es una duda muy tonta o no; por favor, ayúdenme a aclararla.

En segundo lugar Sería de gran ayuda si me dieran una pista de cómo proceder con este problema. Gracias de antemano

Si esta pregunta es una repetición, por favor, facilite un enlace, pero no vote en contra. Tengo muy poca reputación.

Answer 1

Creo que tu primero la pregunta ha sido respondida,

Ahora Consejos a la segundo uno:

$Ha\neq Hb\implies aH\neq bH$ significa $aH=bH\implies Ha=Hb$ significa $b^{-1}a\in H\implies ab^{-1}\in H$ .

Ahora dejemos que $g\in G,h\in H;h(g^{-1}g)=he\in H\implies (hg^{-1})g\in H\implies ghg^{-1}\in H$ que mantiene $\forall h,g$ .

Así, $gHg^{-1}\subseteq H$