Encontrar el límite de un cociente

Question

No puedo encontrar esto por alguna razón. Sé que pregunté a cerca de 6 de antes y pude terminar mi tarea pero ahora volví a revisar y no puedo hacer uno solo de estos problemas por mi cuenta. Incluso los que averiguar sobre mi. Probablemente gasté un total de 14 horas en la tarea, no estoy seguro qué está mal conmigo pero no sé cómo factor o hacer Álgebra básica.

de todos modos necesito encontrar % $ $$\lim_{x\to -2}\frac{x+2}{x^3+8}.$he pasado por lo menos una hora en ella y no puedo averiguar.

Answer 1

A partir de los comentarios, parece que sería útil para dar una forma bastante elemental y pedante discusión de utilizar el teorema de factor (de pre-cálculo o álgebra de colegio, en los Estados Unidos).

Factor Teorema: Si $r$ es un cero de un polinomio $P(x)$ (es decir, una solución a$P(x) = 0$$x=r$), $x-r$ es un factor de $P(x)$.

Ejemplo 1: Factor De $x^3 - 8$.

En primer lugar, solucionar $x^3 - 8 = 0$ encontrar un valor de $r$. La solución de da $x^3 = 8$ o $x = 2$. Por lo tanto, se puede utilizar $r = 2$, lo cual nos dice que $x - 2$ es un factor de $x^3 - 8$. Ahora uso la división larga (o división sintética) para determinar el cociente que resulta al $x - 2$ se divide en $x^3 - 8$. El cociente será $x^2 + 2x + 4$. Por lo tanto, podemos factor de $x^3 - 8$ $(x-2)(x^2+2x+4).$

Ejemplo 2: Factor De $x^3 + 8$.

En primer lugar, solucionar $x^3 + 8 = 0$ encontrar un valor de $r$. La solución de da $x^3 = -8$ o $x = -2$. Por lo tanto, se puede utilizar $r = -2$, lo cual nos dice que $x - (-2)$ o $x+2$ es un factor de $x^3 + 8$. Ahora uso la división larga (o división sintética) para determinar el cociente que resulta al $x + 2$ se divide en $x^3 + 8$. El cociente será $x^2 - 2x + 4.$ por lo Tanto, podemos factor de $x^3 + 8$ $(x+2)(x^2-2x+4).$

Ejemplo 3: Factor De $x^5 - 100,000$.

En primer lugar, solucionar $x^5 - 100,000 = 0$ encontrar un valor de $r$. La solución de da $x^5 = 100,000$ o $x = 10$. Por lo tanto, se puede utilizar $r = 10$, lo cual nos dice que $x - 10$ es un factor de $x^5 - 100,000$. Ahora uso la división larga (o división sintética) para determinar el cociente que resulta al $x - 10$ se divide en $x^5 + 100,000$. El cociente será $x^4 + 10x^3 + 100x^2 + 1000x + 10,000$. Por lo tanto, podemos factor de $x^5 - 100,000$ $(x-10)(x^4 + 10x^3 + 100x^2 + 1000x + 10,000).$

Ejemplo 4: Factor De $x^5 + x^4 + x^3 + x^2 + x + 1$.

En primer lugar, solucionar $x^5 + x^4 + x^3 + x^2 + x + 1 = 0$ encontrar un valor de $r$. En este caso, los métodos estándar no funcionan (a menos que usted sepa acerca de cyclotomic ecuaciones). Sin embargo, mediante el uso racional de la raíz de la prueba (google), se obtendrá $x = 1$ $x = -1$ como las posibles soluciones. Usted encontrará por sustitución directa que $x = -1$ es una solución a $x^5 + x^4 + x^3 + x^2 + x + 1 = 0$. Por lo tanto, se puede utilizar $r = -1$, lo cual nos dice que $x - (-1)$ o $x + 1$ es un factor de $x^5 + x^4 + x^3 + x^2 + x + 1$. Ahora uso la división larga (o división sintética) para determinar el cociente que resulta al $x + 1$ se divide en $x^5 + x^4 + x^3 + x^2 + x + 1.$ El cociente será $x^4 + x^2 + 1$. Por lo tanto, podemos factor de $x^5 + x^4 + x^3 + x^2 + x + 1$ $(x+1)(x^4 + x^2 + 1).$

Aquí está la cosa realmente agradable acerca de su situación. Casi no hay trabajo para intentar encontrar una solución a $P(x)= 0$. Por ejemplo, en su específica el problema de la limitación de saber que $x^3 + 8 = 0$ al $x=-2$ (debido a que, presumiblemente, ha tratado de encontrar el límite conectando $x=-2$). Así que ya sabes un valor que puede ser utilizado para $r$ en el teorema de factor. En otras palabras, algo "difícil" de resolver como Ejemplo 4 no van a venir.

Answer 2

Para $x=-2$, $$\begin{eqnarray*} x+2 &=&0 \\ x^{3}+8 &=&0, \end{eqnarray*}$$ lo que significa que $x=-2$ es una raíz de ambas ecuaciones. Por lo tanto $x^{3}+8$ puede ser factorizada$^1$ $$x^{3}+8=(x-(-2))Q(x)=(x+2)Q(x).\qquad(*)$$

Para calcular los $Q(x)$

• usted puede realizar la división, $(x^{3}+8):(x+2)$ (o aplicar el llamado Riffini la regla o sinthetic división) y encontrar $$Q(x)=x^{2}-2x+4.$$

• Alternativamente, usted escribe $x^{3}+8$ $$x^{3}+8=(x+2)(ax^{2}+bx+c),$$ (usted podría haber hecho $a=1$, debido a que el coeficiente de $x^3$$1$) ampliar la RHS $$(x+2)(ax^{2}+bx+c)=ax^{3}+bx^{2}+cx+2ax^{2}+2bx+2c,$$ el grupo de los términos del mismo grado $$(x+2)(ax^{2}+bx+c)=ax^{3}+\left( b+2a\right) x^{2}+\left( c+2b\right) x+2c$$ y equiparar a $x^{3}+8$ $$ax^{3}+\left( b+2a\right) x^{2}+\left( c+2b\right) x+2c=x^{3}+8.$$ Los dos lados son el mismo polinomio si y sólo si sus coeficientes son igual $$\begin{eqnarray*} a &=&1 \\ b+2a &=&0 \\ c+2b &=&0 \\ 2c &=&8, \end{eqnarray*}$$ lo que significa que $a=1,b=-2,c=4$.

Así $$x^{3}+8=(x+2)(x^{2}-2x+4).\qquad(**)$$

Así, por $x\neq -2$, tenemos $$ \frac{x+2}{x^{3}+8}=\frac{x+2}{\left( x+2\right) \left( x^{2}-2x+4\right) }= \frac{1}{x^{2}-2x+4},\qquad(***)$$ yo.e $\frac{x+2}{x^{3}+8}$ es igual a $\frac{1}{x^{2}-2x+4}$, excepto para $x=-2 $. Ahora usted puede de manera segura calcular el límite

$$\lim_{x\rightarrow -2}\frac{x+2}{x^{3}+8}=\lim_{x\rightarrow -2}\frac{1}{ x^{2}-2x+4}=\dfrac{1}{\displaystyle\lim_{x\rightarrow -2} x^{2}-2x+4}=\dfrac{1}{(-2)^{2}-2(-2)+4}=\dfrac{1}{12}.$$

--

$^1$ Si un polinomio de grado $n$,

$$P(x)=a_{0}x^{n}+a_{1}x^{n-1}+a_{2}x^{n-2}+\ldots +a_{n-1}x+a_{n}\quad (a_{0}\neq 0),$$

tiene como raíces $n$ diferentes números de $\alpha _{1},\alpha _{2},\ldots ,\alpha _{n}$ , entonces puede ser factorizado como

$$P(x)=a_{0}(x-\alpha _{1})(x-\alpha _{2})\cdots (x-\alpha _{n}).$$

Answer 3

Una inteligente sustitución incluso podría regalo de la respuesta.

Por lo general es fácil tomar el límite de una función sobre algunos puntos especiales, como $0$, $1$, $\pm \infty$ etc, ya que es más fácil para conseguir una sensación para las funciones de alrededor de dichos puntos. Además, la mayoría de la primaria límites como $\lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} = 1$ $\lim_{x \to 0} \frac{e^x-1}{x} = 1$ ya tenemos los argumentos se aproxima $0$, de todos modos, por lo que puede ser conveniente si un nuevo y complicado límite se parece a esto.

Por último, como en cualquier cálculo, se debe ser especialmente cuidadoso en el trato con cantidades negativas. En su pregunta, por ejemplo, el signo negativo en $-2$ podría causar un poco de confusión, mientras que el factoring, a menos que usted es sistemático en su división larga o la división sintética.

A la luz de los puntos anteriores, recomiendo la estrategia de sustitución para la evaluación de límites. Es decir, si un determinado límite de ha $x \to a$, hacen que la sustitución de $y = x-a$ y deje $y \to 0$. Conecte $x=y+a$ en la función, y ver si la expresión resultante es más simple. Como regla general, yo esperaría que este truco sería poderoso cuando se trata de lidiar con polinómica o racional, funciones, o incluso la función exponencial $e^x$. Por otro lado, si su límite implica funciones trigonométricas, entonces me imagino que la expresión resultante sería más complicado, básicamente, ya que la suma de las fórmulas de las funciones trigonométricas a involucrar a varios términos.

Vamos a ver lo que hace en su ejemplo. Deje $y = x+2$, por lo que el$$x^3+8 = (y-2)^3+8 = y^3 - 8 - 3\cdot y \cdot 2(y-2) +8 = y^3 - 6y^2 + 12 y .$$, por tanto, el límite dado se convierte en: $$ \lim_{y \to 0} \frac{y}{y^3 - 6y^2 + 12y} = \lim_{y \to 0} \frac{1}{y^2 - 6y + 12} = \frac{1}{12} . $$ Observe que la evaluación del límite en el paso final es bastante obvio.

Por supuesto, debo advertirle que no se puede ciegamente aplicar este (o cualquier) truco en todos los casos. Por ejemplo, dado el límite de $$ \lim_{x \to \pi/2} \frac{\exp(\cos x) - 1}{\cos x}, $$ reescribir como $$ \lim_{y \to 0} \frac{\exp(\cos (y + \pi/2)) - 1}{\cos (y+\pi/2)} $$ parece poco útil. (Por supuesto, la sustitución es el camino a seguir en este ejemplo, sólo no esta.)

Answer 4

% Toque $\ $considere el límite de una función racional $\rm\:f(x)/g(x)\:$ $\rm\:x\to c\:.\:$ si es divisible por $\rm\:f(c)=0=g(c)\:$ $\rm\:f,g\:$ luego, por el teorema del Factor, ambos $\rm\:x-c\:.\:$ mantener cancelación $\rm\:x-c\:$ de tanto $\rm\:f,g\:$ hasta que ya no es posible. Entonces el límite no será de forma indeterminada $\:0/0$.

Answer 5

¿Se permite utilizar la regla de l'Hôpital? Si enchufa $x=-2$ en su fórmula, tiene $0/0$ que es una forma indeterminada que puede manejar la regla de l'Hôpital.

Derivados de la toma del numerador y el denominador, obtenemos $$ \frac{(x+2)'}{(x^3+8)'} =\frac{1}{3x^2}$$ and now plugging in $x=-2$ we have $1/12$ como la respuesta.