Deje $K$ ser un compacto convexo subconjunto de localmente convexo espacio vectorial topológico $E$. Deje $U$ ser un subconjunto de a $K$.
Es $conv(U)$ (el casco convexo de $U$) un subconjunto abierto de $K$ ?
Se puede ver, es bueno saber que si $U$ es un subconjunto abierto de $E$, $conv(U)$ es un subconjunto abierto de E. el argumento para esto se basa en el hecho de que la adición es una carta abierta para$E \times E$$E$, por lo tanto, si usted toma $(a_1,...,a_n)$ tal que $\sum a_i =1$, entonces el conjunto de $\sum a_i u_i$ $u_i \in U$ es un conjunto abierto, y por lo tanto, $conv(U)$ es una unión de conjunto abierto. Pero cuando nos limitamos a $K$ el anterior argumento no se sostiene : por ejemplo si $U = K$, $n=2$ y $a_1=a_2= \frac{1}{2}$, entonces el conjunto de $\sum a_i u_i$ es el conjunto de no-extremal punto de $K$, lo que puede no ser abiertos, incluso en un finito dimensionales caso... pero todavía no puedo encontrar ningún contraejemplo a mi pregunta.
Nota : el Uso de locales de la convexidad podemos demostrar que es suficiente para probar que si $U$ $V$ son dos abiertos subconjunto convexo de $K$ entonces el conjunto de $a u +(1-a)v$ $[0,1]$ está abierto en $K$.
Gracias !
