Bien, supongamos que tenemos $f : \mathbb{C} \to \mathbb{C}$ analítica, entonces si $f = u + iv$ funciones $u,v : \mathbb{C} \to \mathbb{R}$ satisfacer las Cauchy-Riemann ecuaciones: $D_1u=D_2v$$D_2u=-D_1v$. Ahora, supongamos que tenemos una pick $(x,\mathbb{C})$ de las coordenadas cartesianas en $\mathbb{C}$. Entonces tenemos:
$$\begin{cases}\dfrac{\partial u}{\partial x^1}&=\phantom{-}\dfrac{\partial v}{\partial x^2} \\ \\ \dfrac{\partial u}{\partial x^2} &= -\dfrac{\partial v}{\partial x^1}\end{cases}$$
Esto también puede ser escrito como simplemente:
$$i\dfrac{\partial f}{\partial x^1}=\dfrac{\partial f}{\partial x^2}$$
Pero ahora, aquí está la cosa interesante que he notado. Cuando trabajamos con la arbitraria suave colectores, los parciales de los operadores con relación a algún sistema de coordenadas son los vectores de tangentes a las coordenadas de las líneas. De modo que $\partial /\partial x ^1$ $\partial/\partial x^2$ son vectores de tangentes a las coordenadas de las líneas. Cuando trabajamos con los puntos de $\mathbb{C}$ y entendemos entonces como vectores (identificar el espacio de la tangente en el origen con el espacio $\mathbb{C}$ sí), multiplicando por $i$ es la misma como la rotación de un vector por $\pi/2$.
En el estándar de las coordenadas cartesianas, $\partial/\partial x^1$ está apuntando en la dirección de la $x$ eje y $\partial/\partial x^2$ está apuntando en la dirección de la $y$ eje. En ese caso, $\partial /\partial x^2$ es simplemente $\partial /\partial x^1$ girado $\pi/2$ en la dirección hacia la izquierda. Y el uso de $i$ a expresar rotaciones, esto es exactamente lo que está escrito allí.
No estoy seguro de si he hecho a mí mismo, claro, pero la pregunta es: "¿hay alguna relación entre el Cauchy-Riemann ecuaciones y los campos vectoriales definidos en $\mathbb{C}$ como un suave colector que nos da una comprensión más profunda de lo que funciones analíticas que hacer cuando transformar $\mathbb{C}$ a otro $\mathbb{C}$?"
Muchas gracias de antemano!
