Demostrar que siempre es posible subdividir un trapecio dada en dos trapecios similares.

Question

Dado que ABCD es un trapecio con AB // DC. Vamos $a = AB \lt CD = b$, $DA = c$ y $BC$ ser también conocido.

Probar que existe una línea de PQ (con P en el DA y Q en BC), redactado en paralelo a AB tales que (Trampa ABQP) ~ (Trampa PQCD).

Si el título es cierto, entonces

(1) ¿hasta qué punto es P (en términos de a, b, c)? y

(2) ¿Cómo se puede PQ ser construido en la distancia Euclídea manera?

Obviamente, la trapeziums son equi-angular.

Answer 1

Es suficiente para la construcción de $PQ$ de tal manera que $\frac{AB}{PQ}=\frac{PQ}{CD}$, es decir, para construir la media geométrica de $AB$$CD$. Aquí es un enfoque posible, aprovechando la potencia de un punto con respecto a un círculo.

1. Deje $E\in CD$ ser un punto tal que $AE\parallel BC$;
2. Deje $\Gamma$ de la circunferencia circunscrita de $ADE$ $CF$ ( $F\in\Gamma$ ) de la tangente a a $\Gamma$;
3. Deje $G\in CD$ ser tal que $CG=CF$;
4. Deje $P\in AD$ ser tal que $PG\parallel BC$;
5. Deje $Q\in BC$ ser tal que $PQ\parallel AB$.

Como una forma alternativa basada en el mismo principio,

1. Deje $X=AD\cap BC$;
2. Deje $\Gamma$ ser un círculo con diámetro de $AD$;
3. Deje $T\in\Gamma$ ser tal que $XT$ es tangente a $\Gamma$;
4. Deje $P\in AD$ ser tal que $XP=CT$;
5. Deje $Q\in BC$ ser tal que $PQ\parallel AB$.

Answer 2

Llamaré a la longitud de PQ $y$ y el de AP $z$. Puesto que los dos trapecios son similares, debemos tener $\frac ya=\frac by$, que $y=\sqrt{ab}$. Entonces se puede calcular la distancia de P de la A en la misma línea: $$\frac yz=\frac b{c-z}$ $ $$y(c-z)=bz$ $ $$z=\frac{yc}{b+y}=\frac{c\sqrt{ab}}{b+\sqrt{ab}}$ $ para mostrar la existencia de la división pidió en el título, tenga en cuenta que $\frac y{b+y}<1$ y $z<c$; P por lo tanto siempre se encuentra en el anuncio adecuado, no en la extensión de la misma.

El línea PQ luego se puede construir fácilmente, sabiendo que $AB\parallel PQ\parallel CD$.