Actualmente estoy estudiando un libro sobre la optimización de la forma: Variación y optimización de las formas: un análisis geométrico Por Antoine Henrot, Michel Pierre . El libro introduce en algún momento la capacidad, y utiliza esto para definir conjuntos cuasi abiertos, funciones cuasi continuas, y estos resultados se aplican muy bien a los teoremas de aproximación en los espacios de Sobolev. Como observación, este es uno de los pocos conceptos matemáticos que busqué en Google, y no encontré nada como un artículo de wikipedia o algunos sitios que contengan buenos conocimientos sobre este tema en términos de principiante.
La capacidad se define primero para los conjuntos compactos así:
Para $K\subset \Bbb{R}^N$ compacto, denotamos $cap(K)=\inf \{ \|v\|_{H^1(\Bbb{R}^N)}^2 : v \in C_0^\infty(\Bbb{R}^N),\ v \geq 1 \text{ on }K\}<\infty$ . $C_0^\infty$ es el espacio de las funciones suaves con soporte compacto.
A partir de aquí, la capacidad se extiende a los conjuntos abiertos, tomando el supremum sobre las capacidades de los conjuntos compactos contenidos en un conjunto abierto.
La capacidad relativa se define para un compacto $K$ subconjunto de un conjunto abierto acotado $D\subset \Bbb{R}^N$ por $cap_D(K)=\inf\{ \int_D |\nabla v|^2 : v \in C_0^\infty(D),\ v \geq 1 \text{ on }K\}<\infty$ .
Entendí bastante bien la medida de Lebesgue al encontrar una manera de visualizarla (seguramente, esto no es difícil). Me gustaría saber si existe algo similar para la capacidad. ¿Cómo podría visualizarla o entenderla? ¿Cómo se relaciona con la realidad física? Por ejemplo, ¿cuál es la capacidad de una pelota o caja en $\Bbb{R}^3,\Bbb{R}^n$ (ya que la medida de Lebesgue es el "volumen")?
Me gustaría saber si hay algún libro que trate el tema de la capacidad de una manera como lo hacen los libros de teoría de la medida, con muchas propiedades demostradas y algunos problemas de estudio para entenderlo mejor.
¿Cómo puedo entender la capacidad relacionada con algún aspecto físico (forma, suavidad, finura...)? ¿Cuáles son algunas buenas referencias para un principiante en este campo?
