¿El malabarismo con pelotas reduce el peso total del malabarista y de las pelotas?

Question

Un amigo me propuso un rompecabezas cuya solución implica un $195$ hombre de una libra haciendo malabares con dos $3$ -bolas de un kilo para atravesar un puente con una capacidad máxima de sólo $200$ libras. Explicó que como el hombre sólo sostiene una $3$ -de libras a la vez, el peso máximo combinado en un momento dado es sólo $195 + 3=198$ libras, y el puente aguantaría.

Le corregí explicando que los actos de lanzar y coger la pelota te hacen temporalmente "más pesado" (una fuerza adicional es ejercida por la pelota hacia mí y por mí sobre el puente debido al cambio de impulso al lanzar o coger la pelota), pero admití que los lanzamientos/recogidas suaves (menos aceleración) podrían ofrecer una situación en la que la fuerza sobre el puente nunca alcanza el peso combinado del hombre y las dos pelotas.

¿Podrá el puente soportar al hombre y sus pelotas?

Answer 1

Supongamos que se lanza la pelota hacia arriba a cierta velocidad $v$ . Entonces el tiempo que pasa en el aire es simplemente:

$$ t_{\text{air}} = 2 \frac{v}{g} $$

donde $g$ es la aceleración debida a la gravedad. Cuando coges la pelota la tienes en la mano durante un tiempo $t_{\text{hand}}$ y durante este tiempo hay que aplicarle una aceleración suficiente para frenar la bola desde su velocidad de descenso de $v$ hacia abajo y lanzarlo de nuevo hacia arriba con una velocidad $v$ hacia arriba:

$$ t_{\text{hand}} = 2 \frac{v}{a - g} $$

Tenga en cuenta que he escrito la aceleración como $a - g$ porque hay que aplicar al menos una aceleración de $g$ para evitar que la pelota se acelere hacia abajo. La aceleración $a$ que tienes que aplicar es $g$ más la aceleración extra para acelerar la pelota hacia arriba.

Quieres que el tiempo en la mano sea lo más largo posible para poder usar la menor aceleración posible. Sin embargo, $t_{\text{hand}}$ no puede ser mayor que $t_{\text{air}}$ de lo contrario, habría un tiempo durante el cual usted estaba sosteniendo ambas bolas. Si quieres asegurarte de que sólo tienes una bola a la vez, lo mejor que puedes hacer es hacer $t_{\text{hand}}$ = $t_{\text{air}}$ . Si sustituimos las expresiones de $t_{\text{hand}}$ y $t_{\text{air}}$ de arriba y los ponemos iguales obtenemos:

$$ 2 \frac{v}{g} = 2 \frac{v}{a - g} $$

que se simplifica a:

$$ a = 2g $$

Así que mientras sostienes una pelota de 3 kg estás aplicando una aceleración de $2g$ a ella, y por lo tanto la fuerza que estás aplicando a la pelota es $2 \times 3 = 6$ kg.

En otras palabras, la fuerza que se ejerce sobre el puente cuando se hacen malabares con las dos bolas (con la mínima fuerza posible) es exactamente la misma que si se acaba de cruzar el puente sujetando las dos bolas, ¡y es probable que se moje!

Answer 2

Me encanta esta clase de problema como un fantástico ejemplo físico de la teorema del valor medio . Permítanme describir un caso concreto que se ajusta a las siguientes condiciones:

• El hombre más las bolas tiene un peso total de $m$
• Todo el sistema (hombre+bolas) comienza en reposo y termina en reposo

A partir de estos supuestos relativamente sencillos, afirmaré que la fuerza normal media (la fuerza que el suelo ejerce hacia arriba) es igual al peso del sistema. En otras palabras, para un periodo de tiempo determinado de longitud $T$ tenemos esto:

$$ m g = \frac{1}{T} \int_0^T \vec{F}(t) \cdot \vec{n} dt $$

Esta es una afirmación espectacular en realidad. Para simplificar la notación, consideremos que $\vec{F}(t) \cdot \vec{n}$ es igual al peso que leería una balanza (no es una mala suposición, dependiendo de la balanza). Imagina que el hombre está haciendo malabares, parado en una balanza, y la balanza lee un valor que depende del tiempo, $w(t)$ . El valor medio que lee la balanza será igual a la gravedad por su masa, incluyendo todo lo que lleva en la mano o en el cuerpo.

En la historia del hombre que cruza el puente haciendo malabares con pelotas, el peso total es $201 lb$ . Por cada segundo que pesa $200 lb$ , dedica un segundo a sopesar $202 lb$ o algo similar. La cuestión es que el valor medio es el mismo .

Answer 3

Poner una bola en el suelo. Cruza la otra. Vuelve y coge la segunda bola.

O bien, haz rodar las dos bolas a través, y luego corre tras ellas.

O el malabarista se quita los zapatos y cruza descalzo.

Esto se resuelve como un problema de "pensamiento no lineal", no con "el malabarismo es antigravedad". El sistema bola-hombre debe ser acelerado hacia abajo con una media de 1 libra de fuerza o el puente se romperá. Si no, se podría construir una máquina de movimiento perpetuo a partir de dos malabaristas en un balancín que se turnan para hacer malabares.

(Además, correr es como hacer malabares en el sentido de que el peso está en el aire la mayor parte del tiempo; si esto pudiera funcionar, también podrías simplemente sostener las pelotas y correr).

Answer 4

Imaginemos para simplificar que el malabarista en algún instante se repite, es decir, que el malabarista y las pelotas (con masas $M$ y $2m$ respectivamente) se encuentran exactamente en el mismo estado cinemático en los momentos $t_1$ y $t_2$ .

Considera al hombre + 2 bolas como el sistema, y al puente, etc., como el entorno.

Dejemos que $p(t)$ sea (la componente vertical de) el momento total del sistema.

La segunda ley de Newton aplicada al sistema da como resultado:

$$\tag{1} \dot{p}(t) ~=~ F_n(t) - F_g, $$

donde

$$\tag{2} F_g~=~(M+2m)g, $$

y donde $F_n(t)$ es la fuerza normal del puente, que puede variar en el tiempo $t$ mientras el malabarista hace su rutina. $^1$

Debido a nuestra suposición simplificadora de repetición de estados, tenemos

$$\tag{3} 0~=~p(t_2)-p(t_1)~=~ \int_{t_1}^{t_2} F_n(t)dt - (t_2-t_1)F_g, $$

o

$$\tag{4} F_g ~=~ \frac{1}{t_2-t_1} \int_{t_1}^{t_2} F_n(t)dt ~=~\langle F_n \rangle. $$

Pero si la media $\langle F_n \rangle$ es $F_g$ entonces claramente al menos una instancia $t_3\in [t_1,t_2]$ , hay que tener $^2$

$$\tag{5} F_n(t_3)\geq F_g.$$

En otras palabras, el puente se derrumba.

---

$^1$ El malabarista puede hacer cualquier movimiento que considere beneficioso para su caso. Si quiere saltar con los dos pies abandonando el puente, o bajar su centro de masa, o caerse, es cosa suya. Parece físicamente razonable suponer que la fuerza normal $F_n(t)$ es una función continua a trozos del tiempo $t\in [t_1,t_2]$ con sólo un número finito de puntos de discontinuidad. En ese caso el integral $\int_{t_1}^{t_2} F_n(t)dt$ puede definirse mediante la función Integral de Riemann sin involucrar a la técnicamente más complicada Integral de Lebesgue . (También hay que tener en cuenta que el teorema del valor medio no se aplica a las funciones discontinuas y, desde un punto de vista matemático purista, el teorema del valor medio no es necesario, es decir, la crucial inecuación (5) puede establecerse con consideraciones aún más elementales).

$^2$ Prueba indirecta de la ec.(5): Supongamos que

$$\tag{6} \forall t\in [t_1,t_2]:~ F_n(t)~<~ F_g.$$

Entonces

$$\tag{7} \int_{t_1}^{t_2} F_n(t)dt ~<~ (t_2-t_1)F_g,$$

si asumimos la continuidad a trozos $t\mapsto F_n(t)$ . Pero la ec.(7) es inconsistente con la ec.(3). QED.

Answer 5

Creo que podría ser posible si el hombre primero lanza una de las bolas al aire antes de pisar el puente. En ese caso, el hombre podría aplicar 4 libras de fuerza hacia arriba sobre una de las bolas inicialmente, y luego pisar el puente. En ese momento el puente aguantaría 198 libras. El hombre puede entonces acelerar la otra bola hacia arriba con 4 libras de fuerza antes de que la otra bola caiga. Esto significaría que el puente sostendría 199 libras en ese momento. Cuando las dos pelotas están en el aire, el puente aguanta 195 libras. Entonces la primera bola aterrizaría en la mano del hombre, y éste tendría que aplicar 4 libras de fuerza para desacelerarla hasta el reposo. Durante la desaceleración, el puente aguantaría 199 libras. Después de la desaceleración, el puente aguantaría 198 libras. Entonces el hombre puede repetir la aceleración de la pelota hacia arriba con 4 libras de fuerza mientras cruza el puente.

También sería posible hacerlo si las bolas tuvieran un gran volumen y se contara con la resistencia del aire, en cuyo caso el aire ayudaría a desacelerar las bolas al caer, pero el hombre seguiría teniendo que lanzar una de las bolas al aire antes de pisar el puente.