¿Cómo calcular este límite que se relaciona con la serie?

Question

¿Cómo calcular este límite de la serie?

$$\lim_{N\rightarrow\infty}\sum_{k=1}^N\left(\frac{k-1}{N}\right)^N$$

Answer 1

Reparametrize la suma $m=N-k+1$ para que tenga

$$\lim_{N\to\infty}\sum_{m=1}^N\left(1-\frac{m}{N}\right)^N.$$

Si usted toma $N$ a ser grandes, los términos de la suma de cada uno tienden a $e^{-m}$ y te queda una suma geométrica, dando el resultado $1/(e-1)$. Los detalles se pueden, por supuesto, hacer más rigurosos.

Answer 2

Aquí es otra manera de ver que el límite es de $\frac{1}{e-1}$ basado en los números de Bernoulli y polinomios de Bernoulli. El siguiente es un esquema, pero como con la respuesta de Jonathan, los detalles se pueden hacer riguroso.

Si $B_p(x)$ $p^{th}$ polinomio de Bernoulli, tenemos la fórmula $$\sum_{k=0}^{N-1}k^{p}=\frac{B_{p+1}\left(N\right)-B_{p+1}(0)}{p+1}, $$ and so the above limit is equal to $$\lim_{N\rightarrow\infty}\frac{1}{N^{N}}\frac{B_{N+1}\left(N\right)}{N+1}. $$ Using the expansion for the Bernoulli polynomial, $ B_N (x) = \sum_ {k = 0} ^ N \binom{N}{k}B_k x^{N-k}$, we are looking at $\sum_{k=0}^{N+1}\binom{N+1}{N+1-k}B_{k}N^{N+1-k}, $ and so our limit is $$\lim_{N\rightarrow \infty}\sum_{k=0}^{N+1}\frac{B_{k}}{k!} \left(\frac{(N+1)!}{(N+1-k)!N^{k}}\right).$$ Being careful with bounds, the right most factor does not deviate far from $1$ when $k$ is small, and so it is possible to show that the above limit converges to $$\sum_{k=0}^\infty \frac{B_k}{k!}.$$ Recalling that $\frac{t}{e^t-1}$ is the generating function, we see that the above sum equals $$\frac{1}{e-1}.$$