Tipo de singularidad de $\log z$ en $z=0$

Question

¿Qué tipo de singularidad es $z=0$ para $\log z$ (cualquier rama)? ¿Cuál es la serie de Laurent para $\log z$ centrado en 0, si existe? Si la serie de Laurent tiene la forma $\sum_{k=-\infty}^{\infty} a_kx^k$ entonces, ciertamente, entre $a_{-1},a_{-2},...,a_{-j},...$ al menos uno es distinto de cero (o de lo contrario $\log z$ sería analítica en $0$ ). Dado que $\lim_{z\to 0}z\log z=0$ Debemos tener $a_{-j}=0$ para todos $j>0$ una contradicción. Por tanto, la serie de Laurent centrada en $0$ no puede existir.

¿Es la singularidad en $0$ ¿un poste? Si es así, ¿cuál es su orden? Gracias.

Answer 1

La singularidad de $\log z$ no es un aislado singularidad, por lo que la clasificación habitual en, polo, esencial o desmontable no se aplica. En particular, no hay Expansión de Laurent sobre 0 y no se puede aplicar la teoría de los residuos.

En este caso la singularidad se conoce como punto de ramificación y es el típico ejemplo.

Answer 2

La singularidad no es un polo, ya que Logz (o al menos su parte real) no explota hasta $\infty$ a medida que se acerca a 0 . Tal vez el mejor nombre sea ese $0$ es un punto de ramificación para Logz; y es un punto de ramificación de índice infinito. El punto de bifurcación te dice que si das vueltas al círculo unitario una vez, es decir, si das vueltas por un valor de $2\pi$ , no se vuelve nunca a su valor inicial, es decir, si se consideran los valores de { $Log(z+2n\pi)$ para $n=1,2,3,...$ , todos estos son valores diferentes. Compare y contraste esto con el caso de la raíz n-ésima $z^{1/n}$ . Aquí $0$ es también un punto de ramificación para $z^{1/n}$ pero esta vez es de índice n, porque $e^{i\theta/n}=e^{i\theta+2n\pi/n}$ es decir, se vuelve al valor original de la función después de hacer un bucle n veces.

EDIT: Como se ha señalado en los comentarios, me equivoqué al afirmar que |Logz| no va a $\infty$ como $z\rightarrow 0$ sí que lo hace, ya que lnx sí que explota cerca de $0$

Answer 3

$\log{z}$ se considera un punto de bifurcación debido a su multivalor. Es decir, $\log{z}$ sólo se determina dentro de un múltiplo entero de $i 2 \pi$ . $\log{z}$ es única dentro de una misma rama; es decir, siempre que un contorno a lo largo del cual $\log{z}$ está definida de forma única no cruza un corte de rama que haya sido definido. Que $\log{z}$ explota como $z \to 0$ no viene al caso; simplemente no se incluyen puntos de bifurcación como aquellos para los que el argumento de la función logarítmica es cero debido a la no unicidad del logaritmo cerca de ahí.