Soluciones de $x^p+y^q=y^r+z^p=z^q+x^r$

Question

Estoy luchando con el siguiente problema del libro "Solving Mathematical Problems" de Terence Tao:

Encontrar todos los reales positivos $x,y,z$ y todos los enteros positivos $p,q,r$ tal que $$x^p+y^q=y^r+z^p=z^q+x^r.$$

Obviamente, tomar $x=y=z=1$ podemos tener $p,q,r$ arbitraria. Además, he encontrado las simetrías del problema

$$x,y,z,p,q,r \mapsto x,y,z,p,q,r \\ x,y,z,p,q,r \mapsto x,z,y,r,q,p \\ x,y,z,p,q,r \mapsto y,x,z,q,p,r \\ x,y,z,p,q,r \mapsto y,z,x,r,p,q \\ x,y,z,p,q,r \mapsto z,x,y,q,r,p \\ x,y,z,p,q,r \mapsto z,y,x,p,r,q$$

Esperaba que todas las soluciones siguieran una regla simple, como $x=y=z$ , pero lamentablemente la solución

$$10,10,\sqrt{190},2,2,1 $$ demuestra que no es el caso. ¿Pueden ayudarme con esto, por favor? Gracias.

EDITAR:

Me he dado cuenta de que la igualdad de dos exponentes (es decir $p=q$ ) implica la igualdad de dos bases (es decir $x=y$ ), y entonces la solución es

$$z=(2x^p-x^r)^{1/p} $$

donde $2x^p-x^r>0$ . (Por supuesto, al ser diferentes exponentes iguales se obtienen diferentes formas de la solución)

También he observado que podría tener soluciones con $x,y,z,p,q,r$ todos distintos:

$$x=\frac{1}{2} \left(\frac{\sqrt{69}}{4}-\frac{3}{4}\right),y=\frac{1}{2},z=\frac{1}{2} \left(\frac{\sqrt{69}}{4}-\frac{1}{2}\right),p=1,q=2,r=3.$$

Esto me hace pensar que el problema es muy general y, por tanto, difícil.

Answer 1

Al parecer, el problema era efectivamente demasiado complicado, como se indica en la fe de erratas aquí :

En la página 66, problema 44, hay un $=2$ que falta al final de la cadena de ecuaciones, así $x^p+y^q=y^r+z^p=z^q+x^r=2$ .

Todavía tenemos la solución $x=y=z=1$ para la arbitrariedad $p,q,r$ . Digamos que tenemos una solución $x',y',z'$ donde WLOG $x'>1$ . Eso obligaría a $y'<1$ de la primera expresión, que, a su vez, obliga a $z'>1$ de la segunda expresión, que obliga a $x'<1$ de la tercera, que es una contradicción.

Por lo tanto, la única solución es $x=y=z=1$ y $p,q,r \in \mathbb{N}$ .

[P.D.

No creo que haya una forma cerrada para la solución sin el $=2$ al final, pero esto se basa únicamente en pruebas numéricas].