Teorema fundamental de la teoría de Galois

Question

De vez en cuando, intento darle a mi científico matemático no descripciones de amigos de importantes teoremas que me cruzo.

Un amigo, vi un vídeo sobre Galois y ahora estoy en una pérdida que el teorema Fundamental de la teoría de Galois del estado a ella de manera intuitiva pero matemáticamente correcta.

Answer 1

Una muy poderosa idea en matemáticas es reducir un problema en un entorno a un problema en otro lugar. Lo que en principio podría parecer un problema difícil en un entorno de repente puede ser revelada a ser relativamente sencillo problema en otro. Este tipo de reducciones, se impregnan de las matemáticas.

El teorema fundamental de la teoría de Galois realiza una reducción de este tipo. El problema se reduce concierne el estudio de campo extensiones algebraicas; a grandes rasgos, la idea aquí es el estudio de niza colecciones de raíces de polinomios, y la manera en que las raíces de algunos polinomios puede ser expresada en términos de las raíces de otros polinomios. Si alguna vez has tratado de trabajar con polinomios que no son cuadráticos, usted podría tener una apreciación de lo difícil de un problema que podría haber sido.

La teoría de Galois, reduce este problema, en un sentido apropiado, para el problema del estudio de las simetrías de las raíces. En matemáticas, podemos hablar formalmente acerca de la simetría, usando teoría de grupos. La teoría de Galois asociados a un polinomio de la colección de todas las permutaciones de las raíces que, a grandes rasgos, conservar todas las identidades algebraicas esas raíces satisfacer. A grandes rasgos, de nuevo, este grupo de Galois se codifica en algún sentido la forma en que las raíces de otros polinomios se refieren a las raíces de nuestra polinomio, y porque sabemos mucho acerca de la teoría de grupo a menudo es más fácil para el estudio de Galois de los grupos de estudio de campo de las extensiones directamente.

Un resultado notable que puede ser comprobada mediante el teorema fundamental es la de Abel-Ruffini teorema. Ahora, resulta que la fórmula cuadrática que todo el mundo está familiarizado con generaliza a una más complicado cúbicos fórmula y una aún más complicado el cuarto grado de la fórmula. El de Abel-Ruffini teorema establece que estas fórmulas no generalizar a cualquier otra; no hay quintic fórmula que expresan las raíces de un quintic polinomio en términos de operaciones algebraicas, incluyendo la toma de raíces.

La prueba de que el producto a través de la teoría de Galois, reduce este problema, mostrando que el grupo de simetrías de $5$ cosas es más complicado, en un cierto sentido preciso (no es solucionable), que en el grupo de simetrías de $2, 3$ o $4$ cosas, y a grandes rasgos un análogo de la fórmula cuadrática sólo puede existir si el grupo de Galois no es complicado de esta manera en particular.