¿Cómo identificar el 3-espacio hiperbólico y $SL(2,\mathbb{C})/SU(2)$?

Question

Sé que cada coset representante de $g\in SL(2,\mathbb{C})$ $SL(2,\mathbb{C})/SU(2)$ puede ser elegido de la forma

$$ g = \left( \begin{array}{cc} \sqrt{t} & \frac{z}{\sqrt{t}}\\ 0 & \frac{1}{\sqrt{t}} \end{array} \right), z\in \mathbb{C}, t>0, z=x+iy $$ y, a continuación, $g$ se asigna a $z+kt$ en el quaternionic mitad superior del plano

$$\mathcal{H}^c = \{z+kt = x+iy +kt | x,y\in \mathbb{R}, t>0\}$$

los elementos son iguales a los cuaterniones de

$$ \mathbb{H} = \mathbb{R} \bigoplus \mathbb{R} i \bigoplus \mathbb{R} j \bigoplus \mathbb{R} k$$

con la $j$coordenada igual a cero. Un ejercicio que dice: Mostrar que el invariante de la longitud de arco en $\mathcal{H}^c$ está dado por

$$ds ^2 = (dx^2 +dy^2 +dt^2 )t^{-2}$$

Esta sería la prueba de que $SL(2,\mathbb{C})/SU(2)$ puede ser identificado con el hiperbólico $3$-espacio, ¿no? ¿Tengo que empezar con una métrica de Riemann en $SL(2,\mathbb{C})/SU(2)$? ¿Cuál es la métrica en la $SL(2,\mathbb{C})$?

Agradecería cualquier explicación de conocimiento básico que está detrás de una posible solución a este problema, ya que no estoy muy familiarizado con cuaterniones o Mentira grupos. Gracias de antemano!

Answer 1

Usted ha demostrado un mapa de $SL(2, \mathbb C)/SU(2) \simeq \mathbb R^3 \to SL(2, \mathbb C)$. Presumiblemente, la métrica usted está tratando de conseguir es el retroceso de los reales (parte de) la Matanza forma$B$$SL(2, \mathbb C)$. En la identidad, en la que $T_e SL(2, \mathbb C)$ es identificable con traceless matrices, esto es dado por (posiblemente un múltiplo de) $B(X,Y) = Re~tr(XY)$. Luego de hacer esto de manera global invariantes bajo la acción de $SL(2, \mathbb C)$ sobre sí mismo a través de la izquierda de la traducción: $B_g = L_{g^{-1}}^* B_e$ donde $L_g^{-1}$ traducción por $g^{-1}$.

El contexto general es la siguiente: dado $G$ semisimple y $K \subset G$ máxima compacto, usted puede conseguir un Cartan de la descomposición de la Mentira álgebra $\mathfrak g$ $G$ $\mathfrak k \oplus \mathfrak k^\perp$ donde $\mathfrak k$ es la Mentira de álgebra de $K$ y el complemento ortogonal se toma el uso de la Matanza forma. Esto satisface $$ [\mathfrak k, \mathfrak k^\asesino] \subconjunto \mathfrak k^\asesino, ~~ [\mathfrak k^\asesino, \mathfrak k^\asesino] \subconjunto \mathfrak k $$ y $K \times \mathfrak k^\perp \to G, ~ (k, X) \mapsto k\exp X$ es un diffeomorphism de los colectores. A continuación, $K$ actúa en $\mathfrak k^\perp$ a través de la adjoint acción y hay un isomorfismo $$ T (G/K) \simeq G \times_{Ad} \mathfrak k^\asesino $$ donde en el lado derecho vemos a $G$ principal $K$-paquete de más de $G/K$. A continuación, la métrica de $G/K$ está dado por $\langle [g, X], [g, Y]\rangle = B_e(X,Y)$. Creo que si sigues a cabo las identificaciones que también se llega a la misma métrica (he probado los cálculos y parecían bastante laborioso aunque-tal vez se me perdió un acceso directo).