Veamos un ejemplo. Tomemos el espacio vectorial $\mathbb{R}[x]$ de todos los polinomios reales en una variable y definir un producto interno como
$$\left( \sum_{j=0}^n a_jx^j, \sum_{k=0}^m b_kx^k \right)=\sum_{h=0}^{\min(n,m)}a_hb_h.$$
Ahora dejemos que $T$ sea el operador lineal tal que
$$T\sum_{j=0}^n a_jx^j=\sum_{j=0}^n a_j+\left(\sum_{j=1}^na_j\right)x+\ldots + (a_{n-1}+a_n)x^{n-1}+a_nx^n.$$
Piensa en $T$ como el operador representado por la matriz infinita de abajo:
$$\begin{bmatrix} 1 & 1 & 1 & \ldots \\ 0 & 1 & 1 & \ldots \\ 0 & 0 & 1 & \ldots \\ \vdots & \vdots & \vdots & \ddots \\ \end{bmatrix}$$
Debería $T$ tienen un adjunto con respecto al producto interior $(,)$ debe estar asociada de alguna manera a esta matriz infinita:
$$\begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 & \ldots \\ 1 & 1 & 0 & \ldots \\ 1 & 1 & 1 & \ldots \\ \vdots & \vdots & \vdots & \ddots \\ \end{bmatrix}$$
pero esto no tiene sentido en $\mathbb{R}[x]$ . Formalmente, supongamos un operador adjunto de este tipo $T^\star$ existe. Arreglar $k \in \mathbb{N}$ que es $T^\star x^k$ ? Para todos $n=0, 1,\ldots$ , deberíamos tener
$$(x^n, T^\star x^k)=(T x^n, x^k)=(1+\ldots+ x^n, x^k)=\begin{cases}1 & n \ge k \\ 0 & n <k \end{cases};$$
esto significa que $T^\star x^k$ debe ser un polinomio de grado $\ge n$ para todos $n\in \mathbb{N}$ . Así que, $T$ no tiene un adjunto.
La razón es que el mapeo
$$P \in \mathbb{R}[x] \mapsto (P, \cdot) \in \mathbb{R}[x]^\star$$
(aquí $\mathbb{R}[x]^\star$ es el espacio dual algebraico de $\mathbb{R}[x]$ ) no es un isomorfismo, porque no es subjetivo. De hecho, se puede demostrar que $\mathbb{R}[x]^\star$ puede representarse como $\mathbb{R}[[x]]$ el espacio de las series de potencias formales con coeficientes reales.
