If prueba $AB-I$ Invertible entonces $BA-I$ invertible.

Question

Tengo estos problemas :

• Prueba Si $AB-I$ invertible, entonces a $BA-I$ invertible.
• Prueba Si $I-AB$ invertible, entonces a $I-BA$ invertible.

Creo que resolverlo correctamente, Pero yo no estoy tan seguro, estaré encantado de recibir comentarios.

• Si $AB-I$ invertible, entonces : $$\det|AB| \neq 0 \implica \\ \det|a-I||B| \neq 0 \implica \\ \det|B||a-I| \neq 0 \implica\\ \det|BA-I| \neq 0$$

Por lo tanto, $BA-I$ invertible.

• Si $I-AB$ invertible, entonces :

$$\det|I-AB| \neq 0 \implica \\ \det|I-B||A| \neq 0 \implica \\ \det|I-BA| \neq 0$$

Por lo tanto, $I-BA$ invertible.

Answer 1

Hay una mancha de la manera de descubrir la inversa por resolver el problema (formal) de potencia de la serie.

$$\begin{eqnarray} \rm (1-ab)^{-1} &=&\rm 1+ ab + a\color{#c00}{ba}b + a\color{#0a0}{baba}b +\,\cdots\\ &=&\rm 1+ a (1\, +\, \color{#c00}{ba}\ \ +\ \ \color{#0a0}{baba}\,\ +\,\cdots)b\\ &=&\rm 1+ a (1\,-\,ba)^{-1}b\end{eqnarray}\qquad\qquad$$

Simple álgebra demuestra que esta fórmula es universalmente correcto (como en Kaladin la respuesta).

A primera vista, parece muy notable que un método se debe trabajar. Halmos plantea el reto de explicar por qué esto funciona en una de sus exposiciones populares en Matemáticas. Intelligencer. Algunas explicaciones son conocidos - ver aquí para más (ver también aquí).

Answer 2

He aquí una manera de comprobar esta afirmación:

1. Quieres demostrar que $BA-I$ es invertible si $AB-I$ es invertible. Esto es equivalente a probar que $AB-I$ es no invertible si $BA-I$ no es invertible.
2. Se puede relacionar no invertibility alguna condición en la que los valores propios de a$AB$$BA$? Sugerencia: $0$ es un autovalor de a $AB-I$ si y sólo si $1$ es un autovalor de a $AB$.
3. Finalmente, ¿cuál es la relación entre los autovalores de a $AB$ y los de $BA$?

Si quieres más consejos, acaba de pedir, pero por favor, trate de resolverlo por ti mismo primero.

Answer 3

Si es invertible, con inversa $AB-I$ $C$ mirar en $-I+BCA$ como inverso de $BA-I$. \begin{align} (BA-I)(-I+BCA) &=-BA+BABCA+I-BCA\\ &= -BA+B(AB-I)CA+I\\ &=-BA+BA+I=I \end {Alinee el} y para el otro lado\begin{align} (-I+BCA)(BA-I)&=-BA+I+BCABA-BCA\\ &=-BA+BC(AB-I)A+I\\ &= -BA+BA+I=I \end {Alinee el} de la segunda parte se puede hacer algo similar. Asumir $I-AB$ tiene inversa $D$, $-C$, $I-BA$ tiene inversa $I+BDA=-(-I+BCA)$.

Answer 4

El resultado será verdadero si $A$ o $B$ se supone que es invertible.

Ya que contamos con $\det(ABA-A)=\det(A(BA-I))$:

$$ \det ((AB-I) A) = \det (A(BA-I)) \implies \det A\cdot\det (AB-I) = \det un \cdot\det(BA-I). $$

resultado sigue si $\det A\neq0$.

Por otra parte $$\begin{align}\det(BA-I)\cdot\det B &= \det((BA-I)B)\\ &=\det(BAB-B)\\&=\det(B(AB-I))\\&=\det B\cdot \det(AB-I).\end{align}$ $

Resultado sigue si $\det B \neq 0$.