Sobre una fórmula de la norma de un elemento de una extensión finita de un campo

Question

Teorema Dejemos que $F$ sea un campo. Sea $K$ sea una extensión finita de $F$ . Sea $[K : F]_i$ sea el grado inseparable de $K/F$ . Sea $\bar{K}$ sea un cierre algebraico de $K$ . Sea $S$ sea el conjunto de $F$ -encuentros de $K$ en $\bar{K}$ . Sea $\alpha \in K$ . Entonces $N_{K/F}(\alpha) = (\prod_{\sigma \in S}\sigma(\alpha))^{[K : F]_i}$

Esto se demuestra en el Teorema 60 de la página 39 del Nota de la conferencia escrito por Pete L. Clark. No entiendo la prueba. ¿Alguien podría iluminarme?

EDITAR ¿Por qué los votos negativos? ¿Pedir ayuda para entender una prueba debería estar mal visto?

EDITAR Comprendo los requisitos de la prueba, es decir, el contenido de la sección 6 y el Corolario 58.

EDITAR Pregunta relacionada 1 , Pregunta relacionada 2

EDITAR Dejemos que $f(X)$ sea el polinomio característico de $\alpha$ . Sea $g(X)$ sea el polinomio mínimo de $\alpha$ . Por el Corolario 58, $f(X)$ = $g(X)^{[K:F(\alpha)]}$ . El conjunto { $\sigma(\alpha); \sigma S$ } es el conjunto de las raíces de g(X). Sin embargo, no me queda claro que la ecuación $N_{K/F}(\alpha) = (\prod_{\sigma \in S}\sigma(\alpha))^{[K : F]_i}$ sigue inmediatamente. ¿Podría alguien explicar por qué se deduce la ecuación además de decir que es sencilla?

EDITAR Es sorprendente que algunos consideren que cuestionar una prueba es un ataque a la credibilidad del autor. Todo el mundo comete un error. Incluso Grothendieck cometió un error no trivial (ver Misconceptions About $K_{X}$ de Kleiman). Creo que esta actitud es perjudicial para el desarrollo saludable de las matemáticas. Sin embargo, no estoy afirmando que la prueba sea errónea.

EDITAR A quien le parezca que la prueba es sencilla, que me lo explique con detalle. No soy tan inteligente como tú.

EDITAR Es sorprendente que nadie haya explicado la prueba hasta ahora. Creo que cada paso de cualquier prueba puede reducirse a enunciados (realmente) triviales. Si crees que es sencilla, por favor, redúcela a enunciados más triviales que cualquiera que tenga conocimientos básicos de álgebra abstracta pueda entender.

Answer 1

No creo que los downvotes estén ayudando a la situación. En el caso de que alguien esté votando a la baja la pregunta del candidato por algún sentido de solidaridad o lealtad hacia mí: gracias, pero por favor no lo hagan.

Por otro lado, no está claro, ni siquiera para mí, qué es exactamente lo que quiere preguntar el PO. "No entiendo la prueba. ¿Podría alguien iluminarme?" no es lo suficientemente específico como para ser útil. De hecho, hace ya más de un par de días, esto empezó con un comentario que el OP me dejó en otra parte de este sitio:

"@Pete creo que la prueba del Teorema 60 es incorrecta (no hablo de algunos errores tipográficos obvios allí). Por favor, perdóname si es un error mío".

Permítanme empezar diciendo que yo ciertamente lo hacen quiero que se me señalen los errores en mis escritos matemáticos. Sin embargo, en este momento tengo cerca de 2.000 páginas de este tipo de cosas disponibles en Internet, por lo que es una cuestión no trivial en cuanto a la mejor manera de añadir / editar / corregir estas cosas. Por lo general, en cualquier momento estoy más presente mentalmente e interesado en hacer estos cambios en algunos documentos que en otros (si a alguien le interesa, en este momento son el cálculo de honores / análisis de pregrado, la geometría de los números y las formas cuadráticas los que tienen la mayor parte de mi atención).

Lo que intento decir es que, por el momento, no tengo un sistema bien pensado para tratar las modificaciones del producto que ya he puesto a disposición. La gente me escribe para sugerir cambios y correcciones con bastante frecuencia (un par de veces al mes, por término medio), y lamento decir que atiendo algunas de estas sugerencias, pero no todas, de manera oportuna. Por ahora, si quieres maximizar las posibilidades de que una corrección se haga cuanto antes, ayuda que me des toda la información posible y que me des una tarea lo más concreta posible. Por ejemplo:

1) Por favor, incluya información específica sobre los apuntes que está consultando: lo ideal es un enlace a un archivo concreto de mi página web.

2) Si crees que he cometido un error, por favor, di exactamente cuál crees que es el error. Si cree que conoce la corrección, por supuesto, dígamelo.

3) Si no has entendido algo de mis apuntes, o tienes una pregunta de seguimiento natural, o buscas referencias sobre algo a lo que he aludido demasiado a la ligera (Nota: en los últimos años he mejorado mucho a la hora de incluir referencias precisas y formales incluso en los apuntes de mis clases de licenciatura), entonces puede que quieras preguntar primero a otra persona, o preguntar en este sitio. Cuando se trata de enseñando Naturalmente, pondré en primer lugar a mis propios alumnos, y a los alumnos de mi propia universidad. De todos modos, cuando se trata de preguntas sobre mis apuntes expositivos, te prometo que no soy el único ni el más cualificado para responderlas. Por el contrario, para casi todo lo que he escrito, hay personas aquí que están más cualificado para responder a sus preguntas que yo.

Si haces una pregunta aquí que provenga de mis propios escritos, por favor envíame un ping. Me interesará leerla, aunque no sea yo quien la responda.

Answer 2

Qué exactamente ¿no entiendes en esa prueba? Está fuertemente basada en resultados anteriores en los mismos apuntes, y si ya sabes que los conjugados de cierto elemento son las imágenes de este elemento bajo las diferentes incrustaciones $\,K\to \overline{K}\,$ , cada uno de los cuales se repite con precisión $\,[K:F]_i\,$ ...entonces... bueno, ¡entonces hemos terminado!

Answer 3

Bueno, el teorema es un poco apresurado, por ejemplo, si usted elige $\alpha \in F$ entonces $f(t) = (t-\alpha)^n$ y sólo tiene una raíz distinta.

La afirmación correcta es : Sea $K/F$ sea una extensión de campo de grado $n < \infty$ y grado separable $m$ . Sea $\overline{K}$ sea un cierre algebraico de $K$ . Sea $\alpha \in K$ y que $f(t)$ sea el polinomio característico de $\alpha \bullet \in End_F(K)$ . Sea $\sigma_1 \ldots \sigma_m$ sean los distintos $F$ -incrustaciones de álgebra de $K$ en $\overline{K}$ . Entonces la factorización de $f(t)$ en $\overline{K}$ es $f(t) = \prod_{i=1}^m (t- \sigma_i(\alpha))^{n/m}$ .

En primer lugar, dejemos que $K_0 = F(\alpha)$ , $n_0 = [K_0 : F]$ , $m_0$ sea el grado separable de $[K_0 : F]$ , $\tau_1 \ldots \tau_{m_0}$ sean las incrustaciones de $K_0$ en $\overline{K}$ y $f_0(t)$ sea el polinomio mínimo de $\alpha$ en $F$ .
Entonces, por el corolario 58, $f(t) = f_0(t)^{[K : K_0]} = f_0(t)^{n/n_0}$ .
Según la prueba del teorema 38, cada $\tau_i$ es la restricción a $K_0$ de $m/m_0$ muchas incrustaciones $\sigma_j$ Por lo tanto $\prod_{i=1}^m (t- \sigma_i(\alpha))^{n/m} = \prod_{i=1}^{m_0} (t- \tau_i(\alpha))^{n/m_0} $ por lo que sólo tenemos que demostrar que $f_0(t) = \prod_{i=1}^{m_0} (t- \tau_i(\alpha))^{n_0/m_0}$ .

A partir de ahora, supongamos que estamos en el caso $K = K(\alpha)$ . Sea $K_s$ sea el cierre separable de $F$ en $K$ Así que, por la Proposición 50, $K/K_s$ es puramente inseparable y $K_s/F$ es separable. Por el corolario 47, existe un número entero $a\ge 0$ tal que $K_s = K(\alpha^{p^a})$ . Sea $g(t)$ sea el polinomio mínimo de $\alpha^{p^a}$ en $F$ . Entonces $f(t) = g(t^{p^a})$ porque $g(\alpha^{p^a}) = 0$ y tienen el mismo grado $n = p^a m$ . Mientras tanto, $(t - \sigma_i(\alpha))^{p^a} = (t^{p^a} - \sigma_i(\alpha^{p^a}))$ por lo que sólo tenemos que demostrar que $g(t) = \prod_{i=1}^m (t - \sigma_i(\alpha^{p^a}))$ .

Así que sólo necesitamos demostrar el teorema cuando $\alpha$ es separable. Pero entonces esto está claro : el $\sigma_i(\alpha)$ son raíces de $f(t)$ porque $\sigma_i$ son incrustaciones de $F$ -y cada factor del producto es distinto, por lo que el producto tiene que dividir $f(t)$ y ambos polinomios tienen el mismo grado, por lo que deben ser iguales.