Consecuencias de la hipótesis de Riemann

Question

Supongo que se han demostrado una serie de resultados condicionados a la hipótesis de Riemann, por supuesto en la teoría de los números y quizás en otros campos. ¿Cuáles son los más relevantes que conoces?

También estaría bien incluir las consecuencias de la hipótesis de Riemann generalizada (pero especificar cuál se asume).

Answer 1

(Jeffrey C. Lagarias) Es equivalente a RH. Que $H_n = \sum\limits_{j=1}^n \frac{1}{j}$ ser el $n$-ésimo número armónico. Para cada $n \ge 1$ % $ $$\sum\limits_{d|n} d \le H_n + \exp (H_n) \log (H_n),$con la igualdad solamente para $n = 1.$ (Un elemental problema equivalente a la hipótesis de Riemann. Véase también OEIS A057641.)

Answer 2

Muchos de la clase de grupo cálculos se aceleró enormemente por el supuesto de la GRH. Como entiendo que esto se hace mediante el cálculo de límites superiores en la discriminantes de potencial abelian extensiones. Ver esta encuesta por Odlyzko para obtener más detalles

http://archive.numdam.org/ARCHIVE/JTNB/JTNB_1990__2_1/JTNB_1990__2_1_119_0/JTNB_1990__2_1_119_0.pdf

Esto está construido en SAGE.

sage: J=JonesDatabase()
sage: NFs=J.unramified_outside([2,3])
sage: time RHCNs = [K.class_number(proof=False) for K in NFs]
CPU times: user 7.05 s, sys: 0.07 s, total: 7.13 s
Wall time: 7.15 s
sage: time CNs = [K.class_number() for K in NFs]
CPU times: user 20.19 s, sys: 0.24 s, total: 20.43 s
Wall time: 20.96 s

Answer 3

De la página de Wikipedia sobre las consecuencias de la hipótesis de Riemann

"La fórmula explícita de Riemann para el número de primos menores que un número dado en términos de una suma sobre los ceros de la función zeta de Riemann dice que la magnitud de las oscilaciones de los primos alrededor de su posición esperada está controlada por las partes reales de los ceros de la función zeta. [...] la hipótesis de Riemann equivale al "mejor límite posible" para el error del teorema de los números primos".

Answer 4

En cuanto a la GRH, el más bonitos que conozco es esta solución completa de la conjetura de Goldbach impar (que cada número mayor que 5 es suma de 3 primos).