$\frac{1}{4^n}\binom{1/2}{n} \stackrel{?}{=} \frac{1}{1+2n}\binom{n+1/2}{2n}$ - Una identidad para los coeficientes binomiales fraccionadas

Question

En el intento de escribir una respuesta a esta pregunta:

calcular las raíces de $z = 1 + z^{1/2}$ el uso de Lagrange de expansión

Me han llegado a través de la identidad

$$ \frac{1}{4^n}\binom{1/2}{n} = \frac{1}{1+2n}\binom{n+1/2}{2n}. \etiqueta{1} $$

Podría alguien ayudarme a demostrar esto? Los pocos identidades sé que para los coeficientes binomiales no son suficientes para llegar a cualquier parte útil y no veo una forma de tener en cuenta la gran diferencia en el número de factores en sus respectivos numeradores y denominadores.

Answer 1

Simplemente calcular las proporciones de cada lado. La introducción de la notación $\Theta_n f(n) = \frac{f(n+1)}{f(n)}$: $$ \Theta_n \frac{1}{4^n} \binom{1/2}{n} = \frac{1}{4} \Theta_n \binom{1/2}{n} =\frac{1}{4} \frac{\Gamma(n+1) \Gamma\left(\frac{3}{2}-n\right)}{\Gamma(n+2) \Gamma\left(\frac{1}{2}-n\right)} = -\frac{2n-1}{8(n+1)} $$ Por otro lado: $$ \Theta_n \frac{1}{2n+1} \binom{n+1/2}{2n} = \frac{2n+1}{2n+3} \Theta_n \binom{n+1/2}{2n} = \frac{2n+1}{2n+3} \frac{\frac{\Gamma(n+5/2)}{\Gamma(2n+3) \Gamma(1/2-n)}}{\frac{\Gamma(n+3/2)}{\Gamma(2n+1) \Gamma(3/2-n)}} = \frac{2n+1}{2n+3} \frac{(n+3/2)(1/2-n)}{(2n+2)(2n+1)} = -\frac{1}{8} \frac{2n-1}{n+1} $$ La identidad es obviamente cierto para $n=0$, lo que termina la prueba.