¿Todos los juegos de poder contengan un conjunto vacío, así que esto hace la energía fijó un conjunto vacío? ¿O equivoco?
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Anonymous User
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Parecen estar diciendo que si un conjunto contiene al conjunto vacío, es vacia. Esto no es cierto. De hecho es todo lo contrario:
Un conjunto es vacío si y sólo si no contiene ningún elemento. Si un conjunto contiene al conjunto vacío, tiene al menos un elemento (el conjunto vacío) y es por lo tanto, por definición, no vacío.
La respuesta corta a tu pregunta es "Un juego de poder es nunca nula (o vacío), incluso si es el juego de poder de un conjunto vacío."
Un juego de poder $\mathcal{P}(X)$ es el conjunto de subconjuntos de un conjunto dado $X$. Los elementos de $\mathcal{P}(X)$ son en sí mismos conjuntos, trivial o no. Desde el conjunto vacío $\emptyset$ -- el conjunto que no contiene elementos: es un subconjunto de todo conjunto de $X$, $\emptyset \in \mathcal{P}(X)$ como un conjunto. Por lo tanto, cada juego de poder no es trivial y tiene al menos un elemento, a saber, el conjunto vacío. Por ejemplo, si $X =$ {$a, b,c$}, a continuación, $\mathcal{P}(X)$ tiene 8 elementos: el conjunto vacío $\emptyset$, el singleton {$a$}, {$b$} y {$c$}, todos los pares {$a,b$}, {$a,c$} y {$b,c$} y el conjunto $X =$ {$a, b,c$}. De hecho, si $X$ $|X|$ elementos, uno puede demostrar que $|\mathcal{P}(X)| = 2^{|X|}$, incluso en el caso de que $X$ es infinito. Al $X$ es finito, la prueba de la siguiente manera a partir de la identidad \begin{eqnarray} \sum_{k = 0}^{n} \binom{n}{k} = 2^{n}, \end{eqnarray} que es la suma de todas las formas de elegir los $k$ objetos de $n$ objetos como $k$ aumenta de$0$$n$. Lo voy a dejar como un ejercicio para mostrar cómo esta cuenta $|\mathcal{P}(X)|$$|X| = n$.
DanV
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Para agregar en las respuestas anteriores, quiero aclarar que como se observó antes de que el conjunto potencia de $A$, denotado generalmente por $\mathcal{P}(A)$ es la colección de todos los subconjuntos de $A$.
Es decir, si $A = \emptyset$ entonces tiene solamente un subconjunto - sí mismo, como el conjunto vacío es un subconjunto de cada conjunto dado. Por lo tanto, $\mathcal{P}(\emptyset) = \{\emptyset \}$, y otra vez como antes - que tiene un elemento, y más concretamente, que es no vacío.
Alexander Stolz
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Un conjunto vacío no contiene nada. Un juego de poder de algunos de $A$, $\mathscr{P}(A)$ siempre contiene algo, al menos $A$, lo $\mathscr{P}(A)$ no está vacío.
La razón por la que me decidí a añadir mi granito de arena está a punto de salir a la fuente frecuente de confusión que se está asociando conjunto vacío con cero y, a continuación, asociar cero con "la nada". Entonces, como la (incorrecta) razonamiento, el conjunto que contiene sólo el conjunto vacío no contiene nada, y por lo tanto es el conjunto vacío. La causa principal de tal confusión se debe principalmente a la notación: a designar el conjunto vacío como $\emptyset$, que se ve casi como $0$.
Mi regla de oro: en caso de duda, reemplace $\emptyset$ $\{ \, \}$ y, a continuación, pensar de $\{ \, \}$ como un recipiente que contiene nada. El contenedor vacío. Claramente, el conjunto vacío. Pero, digamos, tenemos algunas otras set $A$ que sólo contiene el conjunto vacío. De nuevo, $A$ es un contenedor, pero ahora se contiene en otro recipiente, que contiene nada: $\{ \ \{ \, \} \ \}$. Claramente, un conjunto $A$ contiene algo, así que no está vacío. Sin embargo, la escritura de la misma cosa como $\{ \ \emptyset \ \}$ puede causar un poco de confusión a los que están estudiando la teoría de conjuntos: es que cero, el conjunto de $A$ contiene? Se parece a cero, de todos modos! Pero el cero no es nada! Así que el conjunto no contiene nada. Así es el conjunto vacío.
