La respuesta del límite dado es $2/3$, pero no puedo alcanzarla. He intentado utilizar la regla de L'Hospital, pero yo no podía conducir hasta el final. Por favor dar una solución detallada!
$$\lim_{x\to 0} \left(\dfrac 1{x^2}-\cot^2x\right)$$
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Aquí es una solución de serie no.
$$\lim_{x \rightarrow 0} \left(\frac{1}{x^2} - \cot^2(x)\right) = \lim_{x \rightarrow 0} \frac{\sin^2(x) - x^2\cos^2(x)}{x^2\sin^2(x)}$$
En lugar de hacer directamente l ' hospital, podemos hacer nuestra vida más fácil usando o mejor dicho, $\lim_{x \rightarrow 0}\frac{\sin(x)}{x} = 1$ $\lim_{x \rightarrow 0}\frac{x}{\sin(x)} = 1$:
$$\lim_{x \rightarrow 0} \frac{\sin^2(x) - x^2\cos^2(x)}{x^2\sin^2(x)} = \lim_{x \rightarrow 0}\left(\frac{x}{\sin(x)}\right)^2\left(\frac{\sin^2(x) - x^2\cos^2(x)}{x^4}\right) = \lim_{x \rightarrow 0} \frac{\sin^2(x) - x^2\cos^2(x)}{x^4}$$
Ahora l ' hospital. Tenga en cuenta que nosotros podemos libremente del factor constantes, y también $\cos(x)$ (cuando se acerca a 1 $x \rightarrow 0$):
\begin{align*} \lim_{x \rightarrow 0} \frac{\sin^2(x) - x^2\cos^2(x)}{x^4} &= \lim_{x \rightarrow 0} \frac{2\sin(x)\cos(x) - 2x\cos^2(x) + 2x^2\sin(x)\cos(x)}{4x^3} \\ &= \frac{1}{2}\lim_{x \rightarrow 0}\frac{\sin(x) - x\cos(x) + x^2\sin(x)}{x^3} \\ &= \frac{1}{2}\lim_{x \rightarrow 0}\frac{\cos(x) - \cos(x) + x\sin(x) + 2x\sin(x) + x^2\cos(x)}{3x^2} \\ &= \frac{1}{6}\lim_{x \rightarrow 0}\frac{3x\sin(x) + x^2\cos(x)}{x^2} \\ &= \frac{1}{6}\left(\lim_{x \rightarrow 0}3\frac{\sin(x)}{x} + \lim_{x \rightarrow 0} \cos(x)\right) \\ &= \frac{1}{6}(3 + 1) = \frac{2}{3}\end{align*}
Renan
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6004
Uno puede recordar que, como $x \to 0$, tenemos $$ \cos x = 1-\frac{x^2}2+\frac{x^4}{24}+O(x^6) $$ $$ \sin x = x-\frac{x^3}6+\frac{x^5}{120}+O(x^6) $$ y el uso de $$ \frac1{1-u}=1+u+u^2+O(u^3), \quad u \to 0, $$ $$ \cot da x = \frac{\cos x} {\sin x}=\frac{1}{x}-\frac{x}{3}+O(x^3) $$ y $$ \cot^2 x = \frac{1}{x^2}-\frac23+O(x^ 2) $$ Thus, as $x \to 0$,
\frac{1}{x^2}-\cot^2 x=\color{blue}{\frac23}+O(x^2) $$ $$
y el límite deseado es $\color{blue}{\dfrac23}$.
Paramanand Singh
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13338
Podemos proceder de la siguiente manera\begin{align} L &= \lim_{x \to 0}\left(\frac{1}{x^{2}} - \cot^{2}x\right)\notag\\ &= \lim_{x \to 0}\left(\frac{1}{x^{2}} - \frac{\cos^{2}x}{\sin^{2}x}\right)\notag\\ &= \lim_{x \to 0}\frac{\sin^{2}x - x^{2}\cos^{2}x}{x^{2}\sin^{2}x}\notag\\ &= \lim_{x \to 0}\frac{\sin^{2}x - x^{2}\cos^{2}x}{x^{4}}\cdot\frac{x^{2}}{\sin^{2}x}\notag\\ &= \lim_{x \to 0}\frac{\sin^{2}x - x^{2}\cos^{2}x}{x^{4}}\cdot 1^{2}\notag\\ &= \lim_{x \to 0}\frac{\sin x - x\cos x}{x^{3}}\cdot\frac{\sin x + x\cos x}{x}\notag\\ &= \lim_{x \to 0}\frac{\sin x - x\cos x}{x^{3}}\cdot\left(\frac{\sin x}{x} + \cos x\right)\notag\\ &= 2\lim_{x \to 0}\frac{\sin x - x\cos x}{x^{3}}\notag\\ &= 2\lim_{x \to 0}\frac{\cos x - \cos x + x\sin x}{3x^{2}}\text{ (via LHR)}\notag\\ &= \frac{2}{3}\lim_{x \to 0}\frac{\sin x}{x}\notag\\ &= \frac{2}{3}\notag \end {Alinee el}
Como ya he contado a menudo sobre MSE, LHR se utiliza mejor con una combinación de límites estándar y reglas de la "Álgebra de límites". Cuando se tiene que distinguir muchas veces en la aplicación de LHR es una señal que vas por un camino laborioso y tal vez hay una ruta más simple. La anterior solución se ve un poco largo debido a los pasos detallados de lo contrario su muy simple.
Théophile
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Como alternativa a la regla de l'Hôpital, considerar la serie de Taylor de $\cot x$: $$\cot x = \frac1x - \frac13 x - \frac1{45}x^3 - \ldots$ $ por lo tanto, $$ \begin{align} \cot^2 x &= \frac1{x^2} - \frac23 - \big(\frac2{45} - \frac19\big)x^2 - \ldots\\ &= \frac1{x^2} - \frac23 + \frac1{15}x^2 - \ldots \end{alinee el} $$ usted puede ahora tomar fácilmente el límite, puesto que se anulan los términos de $\frac1{x^2}$.
Harish Chandra Rajpoot
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19636
Solution by using L-Hospital's rule (no series expansion) $$\lim_{x\to 0} \left(\frac{1}{x^2}-\cot^2 x\right)$$ $$=\lim_{x\to 0} \left(\frac{1}{x^2}-\frac{\cos^2 x}{\sin^2x}\right)$$ $$=\lim_{x\to 0} \left(\frac{\sin^2x-x^2\cos^2 x}{x^2\sin^2x}\right)$$ $$=\lim_{x\to 0} \left(\frac{\sin^2x-x^2(1-\sin^2 x)}{x^2\sin^2x}\right)$$ $$=\lim_{x\to 0} \left(\frac{\sin^2x-x^2+x^2\sin^2 x}{x^2\sin^2x}\right)$$ $$=\lim_{x\to 0} \left(\frac{\sin^2x-x^2}{x^2\sin^2x}+1\right)$$ $$=1+\lim_{x\to 0} \left(\frac{\sin^2x-x^2}{x^2\sin^2x}\right)$$ Now, using L-Hospital's rule as follows $$1+\lim_{x\to 0} \left(\frac{\frac{d}{dx}(\sin^2x-x^2)}{\frac{d}{dx}(x^2\sin^2x)}\right)$$ $$=1+\lim_{x\to 0} \left(\frac{\sin 2x-2x}{x^2\sin 2x+2x\sin^2x}\right)$$ Apply L-H $$=1+\lim_{x\to 0} \left(\frac{2\cos 2x-2}{2x^2\cos 2x+2x\sin 2x+2x\sin 2x+2\sin^2x}\right)$$ $$=1+\lim_{x\to 0} \left(\frac{2\cos 2x-2}{2x^2\cos 2x+4x\sin 2x+2\sin^2x}\right)$$ Apply L-H $$=1+\lim_{x\to 0} \left(\frac{-4\sin 2x}{-4x^2\sin 2x+4x\cos 2x+8x\cos 2x+4\sin 2x+2\sin 2x}\right)$$ $$=1-4\lim_{x\to 0} \left(\frac{\sin 2x}{-4x^2\sin 2x+12x\cos 2x+6\sin 2x}\right)$$ Apply L-H $$=1-4\lim_{x\to 0} \left(\frac{2\cos 2x}{-8x^2\cos 2x-8x\sin 2x-24x\sin 2x+12\cos 2x+12\cos 2x}\right)$$ $$=1-8\lim_{x\to 0} \left(\frac{\cos 2x}{-8x^2\cos 2x-32x\sin 2x+24\cos 2x}\right)$$ $$=1-8\left(\frac{1}{0-0+24}\right)=1-\frac{8}{24}=1-\frac{1}{3}=\color{blue}{\frac{2}{3}}$$
