Calcular

Question

Cómo puedo encontrar la integral siguiente:

$$\int^{1/2}_0 \int^{1-x}_x (x+y)^9(x-y)^9 \, dy \, dx $$

Mis pensamientos:

¿Posiblemente convertimos esta al esférico o cambio de variables en el uso?

Answer 1

de acuerdo a la forma de la zona de integración y la forma de la función que está bajo integral, la respuesta más fácil es definir las variables de $u=x+y$ $v=x-y$entonces tenemos: $$\frac{1}{J}=\frac{\partial(u,v)}{\partial(x,y)}=\begin{vmatrix}1&1\\1&-1\end{vmatrix}\Rightarrow |J|=\frac{1}{2}$$ y las fronteras de la zona de integración se $u=-v,u=1,v=0$ basta con dibujar la forma del problema para entender esta parte.entonces:
$$\int^{1/2}_0 \int^{1-x}_x (x+y)^9(x-y)^9 \, dy \, dx=\int^{0}_{-1}\int^1_{-v} \frac{1}{2}u^9v^9\,du\,dv=\frac{-1}{400}$$

---

Edit: para responder a la pregunta en los comentarios:
¿por qué utilizo $\frac{1}{|J|}$?
considerar la analógica situación de un 1-D integral donde tenemos que usar change of variables método de:
$$\int\frac{x\,dx}{\sqrt{1-x^4}}$$
tenemos $u=x^2\Rightarrow du=2x\,dx$
lo que significa que tenemos $u$ como una función de la $x$, por lo que podemos calcular el $du=\frac{du}{dx}dx$, pero en fin sustituto $dx$ en la integral original escribimos $du=2x\,dx\Rightarrow dx=\frac{1}{2x}du$, lo que significa que necesitamos $dx=\frac{dx}{du}du$ a sustituir en la integral original para
En un 1-D integral tenemos $u$ como una función de la $x$, por lo que podemos calcular el $\frac{du}{dx}$, pero a sustituir en la integral original necesitamos $\frac{dx}{du}$
aquí es la misma situación:
a sustituir en la integral original, necesitamos:
$$dx\,dy=\frac{\partial(x,y)}{\partial(u,v)}du\,dv=|J|du\,dv$$
Pero la mayoría del tiempo que nos ha $u$ $v$ como una función de la $x$$y$:
$$u=f(x,y),v=g(x,y)$$
por lo que podemos calcular $$\frac{1}{|J|}=\frac{\partial(u,v)}{\partial(x,y)}$$

Answer 2

Sugerencia: $$(x+y)^9(x-y)^9=((x+y)(x-y))^9=(x^2-y^2)^9$ $

Answer 3

¿Qué tal un cambio de variable como $u=x+y, v=x-y$?

El jacobiano es $-\frac 12$, y el área de integración es el triángulo limitado por la líneas $x=y, x+y=1, x=0$

Esto se traduce en: $v$ varía de $v=0$ $ v=u$ de la integral interior y $u=0$ $u=1$ de la integral exterior.

Por lo tanto evaluamos %#% $ #%

La respuesta final es $$\int_{u=0}^{u=1}\int_{v=0}^{v=u}u^9v^9(-\frac 12)dvdu$

Answer 4

\begin{align} u & = x+y \\ v & = x-y \end {Alinee el} $ du\, dv = \left|\frac{\partial (\right|\,dx\,dy u,v)}{\partial(x,y)} = 2\, dx\, dy $$

\begin{align} & \int^{1/2}_0 \int^{1-x}_x (x+y)^9(x-y)^9 \, dy \, dx \\[10pt] = {} & \int_0^1 \left( \int_{u-1}^0 u^9 v^9 2\,dv \right) \,du \\[10pt] = {} & \int_0^1 u^9 \frac{(-(u-1)^{10})} 5 \, du \end {Alinee el}