Producto del módulo ideal y simple nilpotentes

Question

Estoy atascado con el intento de mostrar que si un ideal I de un anillo R es Nilpotent y M es un Simple R-Módulo, entonces IM = 0

He tratado de mostrar esto con el hecho de que el destructor de un simple módulo es el primitivo ideal, y supongo que tratando de mostrar que un nilpotent ideal y un primitivo ideal están de alguna forma relacionados con el pero creo que me falta alguna información crucial.

He tratado de utilizar las propiedades de la máxima ideales, pero a ninguna conclusión, estoy seguro que me falta apenas un primer paso, cualquier ayuda será muy apreciada

gracias de antemano

Answer 1

La conexión que busca es eso nilpotentes ideales están contenidos en el radical de Jacobson. Esto es fácil de ver desde los primitivos ideales de un anillo son primer, y por lo tanto, cada uno tiene que contener todos los ideales nilpotentes. Por lo tanto su intersección (el radical de Jacobson) contiene todos los ideales nilpotentes.

Puesto que el radical de Jacobson aniquila % simple $R$módulos, así debe cada ideal nilpotente.

Answer 2

Que $M$ ser un módulo simple cero. $M$ Es simple, % o $IM = 0$ $IM = M$. Si $IM = M$, entonces tenga en cuenta que $IM = I^{n}M$ $\forall n \geq 1$. Pero como $I$ es nilpotente, $I^k = 0$ $k$. Esto implica que el $M = 0$, una contradicción. Observe que una consecuencia es que los ideales nilpotentes figuran en el radical de Jacobson.