¿Estas declaraciones son lógicamente equivalentes?

Question

yo. Si llueve el próximo domingo, luego Andy solo ir a un partido de fútbol si Bob no.

ii. Si Andy sólo ir a los pies del juego de pelota el domingo si llueve, entonces Bob sin duda para el domingo partido de fútbol sin importar el clima.

Mi sensación es que no son equivalentes. Elegí los tres siguientes predicados:

r: llueve el próximo domingo,

b: Bob va para el juego,

r: Andy va para el juego.

Y entonces parece que las declaraciones sería:

yo. $r \implies (b \iff a)$

ii. $(a \iff r) \implies b$

Entonces, si yo elijo el caso de que llueve en domingo, Bob va para el juego, pero Andy no, la instrucción i es falsa, pero la afirmación ii ) es verdadera. He traducido estas correctamente?

Answer 1

Creo que has interpretado correctamente el fin de (i): «Andy sólo irá al Juego de fútbol si Bob hace.» Esto no es una declaración de si-y-solamente-si ; es sólo un sólo si declaración.

Tienes el mismo problema en su interpretación de (ii).

Answer 2

si hacemos R = "el sábado va a llover", = "Andy se va al partido de fútbol", B = "Bob va al partido de fútbol", después de la instrucción (i) dice de triples (R,a,B) (Y,Y,Y) y (Y,N,N) son verdaderas, mientras que (Y,Y,N) y (Y,N,Y) son falsas. No se puede decir nada acerca de los otros cuatro tripletes.

Su declaración (ii) es de hecho diferente: la parte "Andy sólo ir a los pies del juego de pelota el domingo si llueve", dice para parejas (R,a) (Y,Y) y (N,N) son verdaderas al mismo tiempo (Y,N) y (N,Y) son falsas. Pero la afirmación "Si S, entonces T" siempre es cierto cuando S es falsa (los Latinos dijo "ex falso quodlibet", de la falsedad viene todo); por lo tanto, el triple (Y,N,Y) es verdadera.

Answer 3

Voy a tomar su traducción:

• $r$ : Llueve el próximo domingo
• $b$ : Bob va para el juego
• $a$ : Andy va para el juego

La primera afirmación de $P_1$ se puede traducir por $r \Rightarrow (a \Rightarrow b)$ desde el "$\phi$ se produce sólo si $\psi$ se produce" es equivalente a "si $\phi$ se produce, a continuación, $\psi$ se produce". La segunda afirmación de $P_2$ puede ser la traducción por $(a \Rightarrow r) \Rightarrow b$.

Después de esto, podemos usar la definición de $\Rightarrow$ encontrar que $$P_1 = \neg r \vee (a \Rightarrow b) = \neg r \vee \neg a \vee b$$ y $$P_2 = \neg (a \Rightarrow r) \vee b = a \vee \neg r \vee b$$

El uso de este, ahora es fácil ver que cuando se $r$ es verdadera y $b$ es falso, $P_1$ $P_2$ difieren. De hecho, cuando el "yo haré llover el próximo domingo" y si "Bob no ir al juego", entonces, si "Andy se va al juego", $P_1$ es falso e $P_2$ es cierto.

Escribir sus proposiciones en una forma normal (aquí una disyunción de lo positivo y negativo de los átomos) le ayuda a encontrar un claro ejemplo contrario ;)