En el espectro de la suma de dos elementos de transporte en un álgebra de Banach

Question

Original: Soit une algèbre de Banach unitaire et a et b deux éléments tels que a*b=b*a. Pourquoi σ (a+b) с σ(a)+σ(b) Et qu'elle est la relación entre σ (a*b) et σ(a) et σ(b)?

Traducción: Vamos a $A$ ser un unitario álgebra de Banach y de los elementos $a$ $b$ tal que $ab = ba$. ¿Por qué es el espectro de $a + b$ contenida en la suma de los espectros de $a$$b$? ¿Qué relaciones tenemos entre el espectro de $ab$ y los espectros de las $a$$b$?

Answer 1

Dos noncommuting quasinilpotent elementos $a,b$ puede dar un no quasinilpotent suma $a+b$ y el producto $ab$. E. g., en $M_2(\mathbb{C})$: $$ a=\pmatrix{0&1\\0&0}\quad b=\pmatrix{0&0\\1&0}\qquad \sigma(a)=\sigma(b)=\{0\}\quad\sigma(a+b)=\{\pm 1\}\quad \sigma(ab)=\{0,1\}. $$ Pero, de hecho:

En un unital álgebra de Banach, para todos los desplazamientos de los elementos de la $ab=ba$, los espectros de $a+b$ $ab$ satisfacer $$ \sigma(a+b)\subseteq \sigma(a)+\sigma(b)\qquad \sigma(ab)\subseteq \sigma(a)\sigma(b). $$

Bosquejo: 1) la hacemos en la conmutativa caso 2) Nos restringimos al conmutativa caso, considerando la bicommutant de $\mathbb{C}[x,y]$.

Prueba: supongamos que $A$ es conmutativa en primer lugar. Entonces por Gelfand, para cada $x\in A$, tenemos $$ \sigma(x)=\{\phi(x)\;;\;\phi\en \hat{A}\} $$ donde $\hat{A}$ denota el conjunto de caracteres (distinto de cero álgebra homomorphisms de$A$$\mathbb{C}$).

De ello se deduce fácilmente que para todos los $x,y\in A$: $$ \sigma(x+y)\subseteq\sigma(x)+\sigma(y)\qquad \mbox{y}\qquad\sigma(xy)\subseteq\sigma(x)\sigma(s). $$

Ahora, volviendo al caso general, donde $A$ no se supone que para ser conmutativa, tome $x,y\in A$ tal que $xy=yx$.

Deje $B=\mathbb{C}[x,y]$ ser el unital álgebra generada por $x,y$. Y denotan $B'$ su commutant, que es el conjunto de todos los $z$ $A$ que conmutan con todos los elementos de a $B$ (lo que es equivalente, con $x$$y$). Tenga en cuenta que para cualquier conjuntos de $S\subseteq T$,$T'\subseteq S'$. También se $S$ es conmutativo si y sólo si $S\subseteq S'$.

Desde $B$ es conmutativa, tenemos: $$ B\subseteq B'\qquad \Rightarrow \qquad B"\subseteq B'\qquad\Rightarrow\qquad B"\subseteq (B")'. $$ Por lo $B''$ es conmutativa. Por otra parte, se comprueba fácilmente que está cerrado (por lo tanto, un unital álgebra de Banach) y contiene $B$.

Tenemos que comparar los espectros relativa a $B''$ $A$ para los elementos de $B''$. Así que tome $z$$B''$. Por supuesto, si $z$ es invertible en a $B''$, es invertible en a $A$. Ahora, por el contrario, asumir que $z$ es invertible en a $A$. Ahora, para todos los $u$$B'$,$zu=uz$$uz^{-1}=z^{-1}u$. Por lo tanto $z^{-1}$ pertenece a $B''$. Por lo tanto $$ z\;\mbox{es invertible en }\quad\Leftrightarrow\quad z\;\mbox{es invertible en}\; B" $$ para todos los $z\in B''$. Aplicando esto a $z=b-\lambda 1$, vemos que $$ \sigma_A(b)=\sigma_{B"}(b)\qquad\forall b\B". $$ Esto demuestra que se puede restringir a la conmutativa unital álgebra de Banach $B''$ y aplicar la propiedad conmutativa caso a $x,y,x+y,xy$ que pertenecen a $B$, por lo tanto,$B''$. $\Box$

Nota: para ver por qué este resultado es natural, y por qué las inclusiones no son igualdades en general, considere el caso de $A=M_n(\mathbb{C})$. Si $x$ $y$ viaje, que puede ser triangularized simulatneously. A continuación, el resultado es claro. Ver también la razón por la que no necesariamente tienen las igualdades.