Encuentra el área máxima del pentágono regular

Question

Encuentra el área máxima del pentágono regular que inscribió una unidad cuadrada.

Answer 1

Es más fácil empezar con un pentágono regular con vértices en el círculo unitario, uno de ellos en $(1,0)$ y encontrar el cuadrado más pequeño que lo contiene. Considerar las líneas de apoyo $x \cos\phi +y \sin\phi =f(\phi)$ . Entonces $f$ periódico con período ${2\pi\over 5}$ y uno tiene $$f(\phi)=\cos\phi\qquad\left(-{\pi\over5}\leq\phi\leq{\pi\over5}\right)\ .$$ Queremos saber $$s:=\min_{0\leq\phi\leq 2\pi}\biggl\{\max\bigl\{f(\phi)+f(\phi+\pi), \ f(\phi+{\textstyle{\pi\over2}}) +f(\phi-{\textstyle{\pi\over2}})\bigr\}\biggr\}\ .$$ Por razones de simetría basta con considerar el $\phi$ -intervalo $\bigl[0,{\pi\over10}\bigr]$ en el que cada uno de los $f$ -expresiones a la derecha tiene una forma única.

Cuando este $s$ se ha determinado es fácil calcular la relación de área entre el pentágono y el cuadrado resultante.

Answer 2

La mayor longitud lateral del pentágono inscrito en el cuadrado unitario es $$\frac{1}{2\cos(\pi/20)\cos(\pi/5)}=0.62573786...$$ Esto concuerda con lo que encontré experimentalmente usando el sketchpad, así que busqué en la web para verificarlo, encontrando este sitio web que da detalles, incluso una construcción del pentágono óptimo. Bastante complicado, y el centro del pentágono no es el del cuadrado.

http://mathafou.free.fr/pbg_en/sol118.html

[Busque en la sección "el pentágono más grande". También está el hexágono más grande, el triángulo (equilátero) más grande].

AÑADIDO: descripción del experimento del bloc de dibujo: Dibujé un pentágono comenzando por un lado y girando sucesivamente 108 grados. Luego dibujé una línea al azar a través de uno de los vértices, y la línea paralela a través del vértice más alejado de la línea al azar. A partir de ahí dibujé perpendiculares a través de los vértices del pentágono más alejados. De este modo se obtuvo un rectángulo, y midiendo los lados del rectángulo y moviendo la línea aleatoria, quedó claro que sólo hay una posición de la línea para la que el rectángulo acaba siendo un cuadrado. Luego, para comparar, dividí la longitud lateral del hexágono por la longitud lateral del cuadrado delimitador, obteniendo el número 0,625... La orientación óptima parece ser la única para la que cuatro de los cinco vértices del pentágono se encuentran en los lados del cuadrado.

Answer 3

Este tipo de problema suele ser difícil porque es complicado demostrar que se ha encontrado la mejor configuración. En este caso hay dos candidatos obvios: poner un lado del pentágono centrado en un lado del cuadrado y expandir el pentágono hasta la máxima altura o poner un lado a $45^\circ$ ángulo en una esquina y dos esquinas en los otros dos lados. Así que calcula el tamaño de cada uno y tendrás la respuesta. Pero quizás haya una respuesta mejor.