En "épica$\Leftrightarrow$ sobreyectiva" en$\mathbf{Grp}$ y$\mathbf{FinGrp}$

Question

Ejercicio 6H en pp 45-46 de Herrlich Y Strecker la Categoría de teoría (1979, 2d ed.) los estados (mi énfasis):

(a) Mostrar que si $K$ es un subgrupo de (finito) de grupo $H$, entonces existe un (finito) de grupo $G$ y el grupo de homomorphisms $f_1, f_2:H\to G$ tal que $$K = \{h\in H | f_1(h\,) = f_2(h\,)\}$$

_{[$\cdots$ largo sugerencia sobre cómo construir $(G, f_1, f_2)$ omite $\cdots$]}

(b) Use la parte (a) para mostrar que la epimorphims en Prfv son precisamente los surjective homomorphisms; asimismo, en la categoría de grupos finitos.

Mi pregunta es:

¿por qué H&S se toman la molestia de hacer un caso especial de la categoría de la finitos grupos?

El texto resaltado en el citado ejercicio, especialmente la última frase de la parte (b), sugieren que la prueba de la "épica $\Leftrightarrow$ surjective" equivalencia de la categoría de Grp de alguna manera no se cumple para la categoría de grupos finitos. ¿Cómo podría ser esto? Después de todo, grupos finitos son grupos demasiado, por lo que cualquier teorema que se demuestra por grupos, en general, sería necesariamente para grupos finitos así. Hubiera tenido más sentido si la prueba para el caso de grupos finitos no aplica para grupos en general, pero no la otra manera alrededor.

(Por lo que vale, después de realizar las partes (a) y (b) para el Grp, no veo ningún paso en el argumento de que depende de la cardinalidad de los grupos implicados. En particular, este es el caso de la propuesta de construcción dada en la omitido sugerencia.)

Answer 1

Ni la parte (a) ni la parte (b) para un finito/contables de los grupos a seguir, desde el caso general de los grupos.

En general, si $\mathbf{D}$ es un (completo) subcategoría de $\mathbf{C}$, entonces:

1. Si $A,B\in\mathbf{D}$ $f\colon A\to B$ es un epimorphism en $\mathbf{C}$, entonces es un epimorphism en $\mathbf{D}$. Sin embargo, si $f$ es un epimorphism en $\mathbf{D}$, que puede o no puede ser un epimorphism en $\mathbf{C}$.

   La razón es que si los morfismos es cancelable a la derecha cuando se compone con cualquier flechas en $\mathbf{C}$, entonces sin duda es cancelable a la derecha cuando se compone con flechas en $\mathbf{D}$. Uno puede ver el hecho de que el grupo de homomorphisms que se surjective sobre el subyacente de los conjuntos de epimorphisms en categorías de los grupos/anillos/etc. como un caso especial de esto, ya que surjective mapas son epimorphisms en $\mathbf{Sets}$.

   Sin embargo, es posible que un mapa para ser cancelados en el derecho cuando se compone con flechas en $\mathbf{D}$, pero no cuando se compone con flechas en $\mathbf{C}$ (menos flechas para componer con el). Incluso cuando la subcategoría es completa. Por ejemplo, la variedad de grupos generados por $A_n$, $n\geq 5$, es una subcategoría de la categoría de grupos (de hecho, es una reflexión subcategoría). La incrustación $A_{n-1}\to A_n$ es un epimorphism en esta variedad, pero no en la categoría de todos los grupos (o de todos los grupos finitos, o incluso en el ligeramente más grande de la categoría dada por la variedad generada por $A_{n+1}$).

2. Algo similar puede suceder con ecualizador de subobjetos. La parte 1 del ejercicio muestra que cada subgrupo es un ecualizador subgrupo (un subgrupo que surge como el ecualizador de un par de morfismos). Si $K$ es un ecualizador subobjeto de $H\in\mathbf{D}$, entonces es un ecualizador subobjeto en la categoría mayor (mismos testigos de trabajo), pero es posible que un subobjeto a ser un ecualizador subobjeto en la categoría mayor, pero no en el más pequeño. T

   La declaración de que todos los subgrupos son ecualizador de subgrupos es más fuerte que la declaración de que epimorphisms son surjective. En la variedad de nilpotent grupos de clase en la mayoría de las $2$ (o la categoría de grupos finitos de nilpotency de clase en la mayoría de las $2$), cada epimorphism es surjective, pero no cada subgrupo es un ecualizador subgrupo (la desviación de un subgrupo de ser un ecualizador subgrupo se mide por el dominio del subgrupo en relación a la variedad; véase aquí para una serie de referencias básicas, aquí para una breve discusión, y aquí un poco off-topic semi-extensivo de la discusión).

Como se señaló en los comentarios, el hecho de que esto tiene para grupos finitos como un caso especial es generalmente destacado porque Schreier sí lo hizo en su papel en la amalgama de productos, a pesar de su prueba de que cualquier finito de amalgama puede ser embebido en un grupo finito es mucho más complicado (y no creo que Linderholm de la construcción puede ser fácilmente adaptado para la declaración más general, cuando tenemos un solo grupo $K$, incrustaciones en dos subgrupos $H_1$$H_2$, y, a continuación, incrustaciones de $H_1$ $H_2$ en un tercer grupo $G$ de tal manera que los dos $H_i$ se cruzan, como subgrupos, precisamente en $K$, y que la inducida por incrustaciones de $K$ a $G$ está de acuerdo). Pero hay un montón de natural subcategorías (nilpotent grupos de clase en la mayoría de las $n$, finitely generado nilpotent grupos de cualquier clase, solucionable grupos, variedades, etc), donde su (1) puede fallar incluso si (2) se mantiene, o (2) puede fallar.