Mostrar que el área de un triángulo se da mediante este determinante

Question

No estoy seguro de cómo resolver este problema. ¿Pueden ustedes proporcionar alguna entrada/sugerencias?

Sea $A=(x_1,y_1)$, $B=(x_2,y_2)$ y $C=(x_3,y_3)$ tres puntos en $\mathbb{R}^{2}$.

Demuestra que el área de $\Delta ABC$ está dada por $\frac{1}{2}\left| \det(M) \right|$, donde $$M = \begin{pmatrix} 1 & 1 & 1\\ x_1 & x_2 & x_3\\ y_1 & y_2 & y_3 \end{pmatrix}$$

Answer 1

Otra posibilidad es usar las propiedades formales del determinante y ver cómo se corresponden con las propiedades del área. Esto puede parecer largo, pero también explica por qué tienes esa relación entre determinante y área.

Comienzas con el determinante: $$\left|\begin{array}{ccc} 1 & 1 & 1 \\ x_1 & x_2 & x_3 \\ y_1 & y_2 & y_3 \end{array} \right|$$ luego puedes restar de la segunda fila $x_1$ veces la primera fila y de la tercera fila puedes restar $y_1$ veces la primera fila para obtener: $$\left|\begin{array}{ccc} 1 & 1 & 1 \\ 0 & x_2-x_1 & x_3-x_1 \\ 0 & y_2-y_1 & y_3-y_1 \end{array} \right|.$$ Esta operación no cambia el determinante (que es multilineal). Y no cambia el área del triángulo, porque corresponde a una traslación, a saber, la traslación del vector $-(x_1,y_1)$ que envía el primer vértice del triángulo al origen.

Ahora supongamos para fijar ideas que $0

Obtienes: $$\left|\begin{array}{ccc} 1 & 1 & 1 \\ 0 & x_2-x_1 & x_3-x_1 \\ 0 & 0 & (y_3-y_1)-\frac{y_2-y_1}{x_2-x_1}(x_3-x_1) \end{array} \right|.$$ Así que ahora tienes un triángulo (con la misma área que el original) cuya base está en el eje $x$ tiene longitud $x_2-x_1$ y cuya altura está dada por la coordenada $y$ del tercer punto que es la entrada en la esquina inferior derecha de la matriz. Entonces el área es la mitad del producto de las entradas en la diagonal, y de hecho en este caso (matriz triangular) esto es de hecho el determinante de la matriz.

También podrías completar el proceso de diagonalización, moviendo el tercer vértice al eje $y$. En ese caso obtendrías un triángulo rectángulo y una matriz diagonal.

Answer 2

Pista: Puede ser más fácil mostrar que $\frac 12\det(M)$ (es decir, sin tomar valor absoluto) calcula el área orientada del triángulo.

Una posible manera es mostrar que $\det M$ es invariante bajo traslación y cizallamiento y da la respuesta correcta para el caso especial $A=(0,0)$, $B=(1,0)$, $C=(0,1)$.

Nota que las traslaciones corresponden a añadir múltiplos de la primera fila de $M$ a la segunda o tercera fila, el cizallamiento corresponde a añadir un múltiplo de la segunda fila a la tercera o viceversa.

Answer 3

Primero, nota que $\begin{vmatrix} 1&1 &1 \\ x_1& x_2 &x \\ y_1& y_2& y \end{vmatrix}=0$ es una ecuación para la línea $AB$. Claramente, porque cuando sustituimos $A$ y $B$ la ecuación se cumple, y al calcular el determinante, la ecuación es lineal.

Además, los coeficientes de $x$ e $y$, digamos $c_x$ y $c_y$, se pueden encontrar expandiendo el determinante usando menores y cofactores.

Sea $F(x,y)=\begin{vmatrix} 1&1 &1 \\ x_1& x_2 &x \\ y_1& y_2& y \end{vmatrix}$, y sea $d$ la distancia de $C$ a $AB$.

Entonces el área es igual a $$\frac{1}{2}|AB|\cdot d=\frac{1}{2}|AB|\cdot\frac{|F(x_3,y_3)|}{\sqrt{{c_x}^2+{c_y}^2}}$$

Ahora, intenta simplificar esto y obtendrás el resultado deseado.

Answer 4

Suponiendo que el OP se refiere al área de un triángulo $ABC$:

Considere el triángulo $\Delta OAB$ formado por los puntos $(0,0)$, $(x_1,y_1)$ y $(x_2,y_2)$. El área de este triángulo viene dada por

$$A_{\Delta OAB} = \frac{1}{2} (x_1 y_2-x_2 y_1)$$

¿Por qué? Porque el área de un triángulo formado por los vectores $\vec{a}$ y $\vec{b}$ desde el origen, con longitudes de lados $a$ y $b$, respectivamente, y ángulo incluido $\theta$ es $(1/2) a b \sin{\theta} = (1/2) (\vec{a} \times \vec{b}) \cdot \vec{k}$, longitud del producto cruz de $a$ y $b$, donde $\vec{k}$ es un vector normal al plano que contiene a $\Delta OAB$, dirección determinada por la regla de la mano derecha. En términos de las coordenadas de $\vec{a}$ y $\vec{b}$, $(x_1,y_1)$ y $(x_2,y_2)$, el producto cruz es $(x_1 y_2-x_2 y_1)$.

Para un triángulo $ABC$ en 3 puntos arbitrarios en el plano, donde $\vec{c} = (x_3,y_3)$, forma la suma de las áreas de $\Delta OAB$, $\Delta OBC$ y $\Delta OCA:

$$A_{\Delta ABC} = \frac{1}{2} (x_1 y_2 - x_2 y_1 + x_2 y_3 - x_3 y_2 + x_3 y_1 - x_1 y_3)$$

Nota que el orden de los puntos en el triángulo es importante: los puntos $(x_1,y_1)$, $(x_2,y_2)$ y $(x_3,y_3)$ están en orden anti-horario.

Answer 5

Sugerencia: Pruébalo y verás.

Para simplificar, dibuja el triángulo en el primer cuadrante y traza perpendiculares desde $A$, $B$, $C$ hasta $A^\prime$, $B^\prime$, $C^\prime$ en el eje $x$. El área del triángulo será alguna combinación (suma y diferencia) de las áreas de los trapecios $\square ABB^\prime A^\prime$, $\square BCC^\prime B^\prime$, $\square CAA^\prime C^\prime$. Escribe las áreas de los trapecios en términos de las coordenadas, combínalas adecuadamente y nota que la respuesta coincide (en valor absoluto) con la fórmula del semideterminante; luego convéncete de que el mismo proceso funciona sin importar cómo o dónde esté posicionado el triángulo.

En el proceso de este enfoque elemental, es posible que llegues a apreciar la sabiduría (y conveniencia) de la respuesta de @Hagen.