Mostrando$\pi(ax)/\pi(bx) \sim a/b$ como$x \to \infty$

Question

Estoy teniendo un poco de un problema con el ejercicio 4.12 Apostol "Introducción a la Teoría Analítica de números". No creo que se supone que debe de ser muy duro ejercicio, es el primero en su sección (son generalmente un poco como warm-ups). Voy a demostrar que

Si $a>0$$b>0$,$\pi(ax)/\pi(bx) \sim a/b$$x \to \infty$.

También dice que se me permite usar el teorema de los números primos. Es simplemente algo como (un esbozo): $$\frac{\pi(ax)}{\pi(bx)} \sim \frac{ax \log bx}{bx \log ax} \sim \frac{a}{b}, \quad \text{since the logs $\a 1$ as $x \to \infty$?}$$ No sé, tal vez me estoy yendo en la dirección equivocada... sería muy bueno si alguien podría enseñarme cómo hacerlo correctamente!

Answer 1

Todo lo que se está perdiendo es el uso de$\text{log}(bx) = \text{log}(b) + \text{log}(x)$, como la fracción a continuación, ~$\frac{ax\text{log}(x)}{bx\text{log}(x)}$ ~$\frac{a}{b}$.

Answer 2

Tienes $\frac{ax \log bx}{bx \log ax} = \frac ab \frac{\log x+\log b}{\log x+\log a}$.

Desde$\log x\to\infty$, tiene$$\lim\limits_{x\to\infty} \frac{\log x+\log b}{\log x+\log a}=1.$ $ (Las constantes$\log a$ y$\log b$ son "pequeño" en comparación con$\log x$).

Answer 3

Podría ser interesante tener en cuenta que la declaración inicial es lo que garantiza que las fracciones de la forma$p/q$ #% con% #% primos, forman un subconjunto denso de$p,q$