Esférica área de rebanadas de pan

Question

Con la integración se puede demostrar que si una esfera se corta en$n$ Paralelos rebanadas de igual anchura, entonces esas rebanadas tienen la misma área externa.

A menudo se presenta como "una hogaza de pan esférica está cortado$n-1$ veces con cortes Paralelos equidistantes, dejando así$n$ rebanadas de igual anchura. Esas rebanadas tienen la misma cantidad de la corteza".

Es decir es posible llegar a la misma conclusión a través de un abordaje geométrica clásica?

Answer 1

como una superficie de revolución de una esfera puede ser visto como distinto de la unión de infinitesimales frustra creado como rodajas de entre los planos perpendiculares a una recta que pasa por su centro. si hacemos esto, nuestro eje x, y el uso de un círculo de radio $r$ centrada en el origen, entonces el radio de la frustrum en un determinado valor de $x$ es sólo $y$, mientras que la longitud de la infinitesimal de la línea es el elemento $ds$. así, entre los seleccionados adecuadamente, los valores de $x=a$ $x=b$ tenemos: $$ A = \int_{x=a}^{x=b} dA = \int_{x=a}^{x=b} 2\pi yd \etiqueta{1} $$ sin embargo $$ ds = \sqrt{dx^2+dy^2} = \sqrt{1 + \left(\frac{dy}{dx}\right)^2}dx = \frac{rdx} de{y}\etiqueta{2} $$ (debido a que $\frac{dy}{dx}=-\frac{x}{y}$$x^2+y^2=r^2$). ahora sustituyendo (2) en (1) obtenemos de la importancia de la cancelación de la $y$, dejando $$ A = 2\pi r \int_{x=a}^{x=b} dx = 2\pi r (b-a) $$ aunque se expresa aquí en la más reciente lenguaje del cálculo y de la geometría de coordenadas, de la importancia de la cancelación es un mero asunto de la geometría clásica una vez que el principio de infinitesimals se aplica. ciertamente, este principio - por ejemplo, como Arquímedes exhaustions - era conocida por la tarde los geómetras griegos.