$G$ grupo finito, $H\leq G$ tal que $C_G(x)\subseteq H\quad\forall x\in H$ tal que $p\mid o(x)$

Question

Supongamos que $G$ es un grupo finito y fija un primo $p$ .

Dejemos que $H\leq G$ tienen la propiedad de que $C_G(x)\subseteq H$ siempre que $x$ es un elemento de $H$ cuyo orden es $p^\alpha, \alpha>0$ un número entero. Entonces demuestre que $p$ no puede dividir ambos $|H|$ y $|G:H|$ .

Os pido que me echéis una mano ya que parece que estoy atascado en el problema.

Muchas gracias.

Answer 1

Si $p$ no divide $H$ entonces la condición se satisface de forma vacía, pero la conclusión se mantiene, así que no hay nada que hacer. Así que supongamos que $p|H$ .

Dejemos que $P$ ser un Sylow $p$ -subgrupo de $H$ . Si $P$ no es un Sylow $p$ -subgrupo de $G$ entonces existe un subgrupo $Q$ de $G$ que contiene $P$ con $[Q:P]=p$ . Ahora considere $Z(Q)$ que no es trivial. Si $Z(Q)\subseteq P\neq\{1\}$ , dejando entonces que $x\in Z(Q)$ , $x\neq 1$ da un elemento de $P$ (por lo tanto de $H$ ) cuyo centralizador contiene $Q$ (ya que $x\in Z(Q)$ ), por lo que $Q\subseteq C_G(x)\subseteq H$ , contradiciendo el hecho de que $P$ es un Sylow $p$ -subgrupo de $H$ y $Q$ es de orden $p|P|$ . Por lo tanto, $Z(Q)\not\subseteq P = \{1\}$ .

Pero como $Z(Q)$ no es trivial, y $P$ es máxima en $Q$ Esto implica que $Q=PZ(Q)$ . Por lo tanto, si $x\in Z(P)$ entonces cada elemento de $Q$ centraliza $x$ eso es, $Z(P)=Z(Q)\cap P$ . Desde $P$ es un no trivial $p$ -grupo, $Z(P)\neq \{1\}$ , por lo que podemos elegir $x\in Z(P)\subseteq Z(Q)$ , $x\neq 1$ y de nuevo tenemos $Q \subseteq C_G(x)\subseteq H$ contradiciendo la suposición de que $P$ es un Sylow $p$ -subgrupo de $H$ y que $Q$ es un $p$ -grupo que contiene adecuadamente $P$ .

En cualquier caso, la suposición de que $P$ no es un Sylow $p$ -subgrupo de $G$ lleva a una contradicción, por lo que si $p$ divide $|H|$ , entonces la mayor potencia de $p$ que divide $|H|$ es igual a la mayor potencia de $p$ que divide $|G|$ Así que $|G:H|$ no es un múltiplo de $p$ .