Necesito calcular la inversa de una matriz de suma$A+D$, cuando se conoce la inversa de$A\in\mathbb{R}^{n\times n}$. La matriz$D\in\mathbb{R}^{n\times n}$ es una matriz diagonal que puede ser pensado como una perturbación a$A$.
Suponiendo que$A+D$ sigue siendo-rango completo, ¿hay alguna manera eficiente para calcular$(A+D)^{-1}$ utilizando la conocida cantidad$A^{-1}$?
La matriz de identidad Woodbury establece que:$$(W+XYZ)^{-1} = W^{-1}-W^{-1}X(Y^{-1}+ZW^{-1}X)^{-1}ZW^{-1}$ $
Ajuste$W = A$,$Y = D$, y$X = Z = I$, obtenemos:$$(A+D)^{-1} = A^{-1}-A^{-1}(D^{-1}+A^{-1})^{-1}A^{-1}$ $
EDIT: Si las entradas de$D$ son muy pequeñas, obtenemos la aproximación:$$(A+D)^{-1} \approx A^{-1}-A^{-1}DA^{-1}$ $
Continuando JimmyK4542 la respuesta, podemos escribir las siguientes dos relaciones con el Woodbury Matriz identidad:
$$(A+D)^{-1} = A^{-1}-A^{-1}(D^{-1}+A^{-1})^{-1}A^{-1}$$
$$ (D^{-1}+^{-1})^{-1} = D - D(A+D)^{-1}D $$
En el segundo, hemos tratado $D^{-1}$ tan grande y $A^{-1}$ como la perturbación, que es sensical si $D$ era pequeña, para empezar. Conectar el segundo en el primero, tengo
$$(A+D)^{-1} = A^{-1}-A^{-1}(D - D(A+D)^{-1}D)A^{-1}$$
La expansión de
$$(A+D)^{-1} = A^{-1}-A^{-1}DA^{-1} + A^{-1}D(A+D)^{-1}DA^{-1}$$
Ahora si $D$ es una pequeña perturbación, nos aproximado de $(A+D)^{-1}\approx A^{-1}$ en el lado derecho solamente, y obtenemos la aproximación
$$(A+D)^{-1} \approx A^{-1}-A^{-1}DA^{-1} + A^{-1}DA^{-1}DA^{-1}$$
Si no nos aproximado, pero el uso de la primera Woodward identidad de nuevo, obtenemos
$$ (A+D)^{-1} = A^{-1}-A^{-1}DA^{-1} + A^{-1}D(A^{-1}-A^{-1}(D^{-1}+A^{-1})^{-1}A^{-1})DA^{-1} $$
Y la expansión de nuevo
$$ (A+D)^{-1} = A^{-1}-A^{-1}DA^{-1} + A^{-1}DA^{-1}DA^{-1} -A^{-1}DA^{-1}(D^{-1}+A^{-1})^{-1}A^{-1}DA^{-1} $$
Si $D$ es una pequeña perturbación, podemos aproximar $(A^{-1}+D^{-1})^{-1}\approx D$ en el lado derecho solamente, y obtenemos la aproximación
$$ (A+D)^{-1} \approx A^{-1}-A^{-1}DA^{-1} + A^{-1}DA^{-1}DA^{-1} -A^{-1}DA^{-1}DA^{-1}DA^{-1} $$
Yo reclamo de continuar el procedimiento conduce a una $N$th orden de aproximación de
$$ (A+D)^{-1} \approx A^{-1}\sum_{n=0}^N (-1)^{n} (DA^{-1})^n, $$
cual es el $N$th el polinomio de Taylor de expansión de $(A+D)^{-1}$ $D\approx \mathbf{0}$ (negrita cero significa que el cero de la matriz). Intuitivamente, la expresión es convergente si $(DA^{-1})^n\rightarrow \mathbf{0}$ "suficientemente rápido" como $n\rightarrow\infty$. No rigurosamente pensando en esto, me parece que la iteración de potencias de una matriz como ésta harán las entradas más y más grande si alguno de los autovalores de a $(DA^{-1})$ son mayores de $1$, dando un divergentes de totalización. Si todos los autovalores de a $(DA^{-1})$ son menores de $1$, yo esperaría que los términos de la suma para obtener más pequeño y más pequeño, que contribuyen menos a la consecuencia, y dando un resultado convergente. En este caso yo esperaría que el error se delimitada por el plazo después de la truncar, dándole un proceso iterativo de manera de saber cuando parar, por ejemplo, calcular el plazo por el término y la suma hasta la contribución es inferior a $10^{-16}$ en todas las entradas de la matriz de doble precisión de un ordenador).
La capacidad de uso de la técnica anterior, a continuación, depende de los valores propios de a $(DA^{-1})$. Espero que sean lo suficientemente pequeños!
I-Ciencias es una comunidad de estudiantes y amantes de la ciencia en la que puedes resolver tus problemas y dudas.
Puedes consultar las preguntas de otros usuarios, hacer tus propias preguntas o resolver las de los demás.
