Demuestra que $\gcd(a,b)=\operatorname{lcm}(a,b)$ si y sólo si $a=b$ .

Question

Sé cómo probar $a=b$ sólo si $\gcd(a,b)=\operatorname{lcm}(a,b)$ pero no sé cómo probar la parte "si". ¿Puede alguien ayudarme?

Answer 1

Una pista: $\gcd(a,b)\le a,b$ y ${\rm lcm} (a,b)\ge a,b$ .

Answer 2

Dejemos que $a<b$

Entonces: $$\gcd(a,b)≤a$$ $$\operatorname{lcm}(a,b)≥b$$

Dejemos que $$\gcd(a,b)=\operatorname{lcm}(a,b)=x$$ desde $$\gcd(a,b)≤a≤b≤\operatorname{lcm}(a,b)$$ así que $$x≤a≤b≤x$$ así que $a=b=x$

Answer 3

Sugerencia : Si $(a,g)\in \mathbb{N}^{*}\times \mathbb{N}^{*}$ , $a$ divide $g$ y $g$ divide $a$ entonces $a=g$ .

Answer 4

Según el teorema fundamental de la aritmética para cualquier $a,b$ podemos escribir $$a=\prod_n p_n^{\alpha_n} ,b=\prod_n p_n^{\beta_n},$$ donde $\{p_n \}$ es la secuencia creciente de primos. Ahora, $$gcd(a,b)=lcm(a,b) \Leftrightarrow \prod_n p_n^{\min(\alpha_n,\beta_n)}=\prod_n p_n^{\max(\alpha_n,\beta_n)} \Leftrightarrow \forall n \; \alpha_n=\beta_n \Leftrightarrow a=b.$$

Answer 5

Un enfoque cerebral de este problema sería analizar el problema de una en una. Cualquier número entero positivo puede representarse de forma única por el número de veces que cada primo divide a ese número entero (es decir, su "factorización prima"). La página web $\text{lcm}$ y $\gcd$ son fáciles de expresar en esta forma....