Probar que$\cos(z)$ y$\sin(z)$ son sobreyectiva sobre los números complejos.

Question

Tengo un ejercicio que dice:

(a) Probar que $\cos(z)$ $\sin(z)$ son surjective funciones de $\mathbb C \to \mathbb C$.

(b) Encontrar las soluciones de la ecuación de $\cos(z)=\dfrac{5}{4}$.

Hasta la parte (a) se va, no tengo idea de cómo mostrar surjectivity. Sé que, por definición, que $\cos(z)=\dfrac{e^{iz}+e^{-iz}}{2}$$\sin(z)=\dfrac{e^{iz}-e^{-iz}}{2i}$. Quiero demostrar que, dado $w \in \mathbb C$, $z_1, z_2 \in \mathbb C$ tal que $\cos(z_1)=w$$\sin(z_2)=w$. He intentado jugar con las expresiones de arriba, pero no pude conseguir nada. Necesito ayuda en esto.

Para la parte (b), una vez que he probado (a), entonces sé (b) tiene sentido, es decir, existen soluciones de la ecuación.

$\cos(z)=\dfrac{5}{4}$ fib $\dfrac{e^{iz}+e^{-iz}}{2}=\dfrac{5}{4}$ Nuevo, no tengo idea de qué voy a salir de esta ecuación.

Answer 1

(A) $$ c = \ dfrac {e ^ {iz} e ^ {- iz}} {2} \ quad \ text {si y sólo si} \ quad 2cw = w ^ 2 1 \ quad \ text {con} \ quad w = e ^ {iz} $$ Ahora resolver la ecuación cuadrática para encontrar$w$ de$c$, lo cual es fácil, y luego encontrar$z$ de$w$, que puede ser un poco más delicada.

(segundo)

Para$c=5/4$ obtenemos$w^2-(5/2)w+1=0$ y así$w=1/2$ o$w=2$. Ya que estos son reales, las soluciones de$w=e^{iz}$ son$z=-i \log(w)+2 k \pi=\mp i \log(2)+2 k \pi$.