Conjetura de modularidad de Serre -- Peso

Question

Estaba leyendo el artículo de Serre "Sur les Représentations Modulaires de Degré $2$ de Gal( $\bar{\mathbb{Q}}/\mathbb{Q}$ )" donde expone su conjetura de modularidad (que ahora es un teorema).

Siguiendo su notación, dejemos $G_p$ sea el grupo de Galois absoluto de $\mathbb{Q}_p$ , $I$ el grupo de inercia (absoluta) y $I_p$ el grupo de inercia salvaje.

Para definir el peso $k$ adjunta a una representación de Galois sólo es necesario mirar localmente a $p$ por lo que hay que considerar una representación continua \begin{equation*} \rho_p:G_p\longrightarrow \mathbf{GL}_2(\bar{\mathbb{F}}_p) \end{equation*}

Ahora el documento se divide en varios casos. El que estoy viendo está en la página $186$ (del Duke Mathematical Journal donde apareció) y corresponde al caso en que $I_p$ no actúa de forma trivial y la restricción de la representación a $I$ viene dada por \begin{equation*} \rho_p|I=\begin{pmatrix}\chi^{\alpha+1} & *\\ 0 & \chi^{\alpha}\end{pmatrix} \end{equation*} para algunos $\alpha\in\{0,\ldots,p-2\}$ , donde $\chi$ es el carácter ciclotómico. Está claro que $\rho_p(I)$ es el grupo de Galois de alguna extensión totalmente ramificada $K$ de $\mathbb{Q}_p^{nr}$ y que $\rho_p(I_p)$ es el grupo de Galois de $K/K^{tr}$ , donde $K^{tr}$ es la máxima extensión tamely ramificada de $\mathbb{Q}_p^{nr}$ contenida en $K$ .

Mi pregunta es la siguiente: unas líneas más abajo afirma que por la teoría de Kummer podemos deducir que $K=K^{tr}(x_1^{1/p},\ldots,x_m^{1/p})$ con $x_i\in\mathbb{Q}_p^{nr}$ . Puedo ver, por la teoría de Kummer, que $K$ es de esta forma para $x_i\in K^{tr}$ . ¿Por qué es cierto que podemos colocar estos $x_i$ en $\mathbb{Q}_p^{nr}$ ?

Gracias por sus respuestas.

Answer 1

La conjugación de una matriz triangular superior $\begin{pmatrix} a & b \\ 0 & d \end{pmatrix}$ toma otra matriz triangular superior $\begin{pmatrix} \alpha & \beta \\ 0 & \delta \end{pmatrix}$ a $\begin{pmatrix} \alpha & \frac{a}{d} \beta \\ 0 & \delta \end{pmatrix}$ .

Así, para la representación $\rho_p$ en cuestión, la inercia actúa en la parte superior derecha `*' a través de la relación de los dos caracteres, que es $\chi,$ el mod. $p$ carácter ciclotómico. Se puede comprobar que el enunciado de la teoría de Kummer que ya has utilizado para obtener el $x_i$ en $K^{tr}$ puede refinarse, utilizando esta información adicional, para demostrar que el $x_i$ están en $\mathbb Q_p^{nr}$ .

Answer 2

Se necesitan los siguientes hechos que Serre observa en la situación dada:

• $K^{\mathrm{tr}} = \mathbb{Q}^{\mathrm{nr}}_p(\mu_p)$ donde $\mu_p$ son los $p$ -raíces de la unidad;
• la extensión $K/\mathbb{Q}^{\mathrm{nr}}_p(\mu_p)$ es $p$ -elemental abeliano;
• la acción de $\mathrm{Gal}(\mathbb{Q}^{\mathrm{nr}}(\mu_p)/\mathbb{Q}^{\mathrm{nr}}_p) \cong (\mathbb{Z}/p\mathbb{Z})^\times$ en $\mathrm{Gal}(K/\mathbb{Q}^{\mathrm{nr}}_p(\mu_p))$ por conjugación es "la obvia", es decir, por multiplicación.

Abstrayéndonos un poco, consideremos la siguiente situación general: Sea $K$ sea un campo, $p \neq \mathrm{char}(K)$ un número primo, $K(\mu_p)$ el campo obtenido al adosar el $p$ -raíces de la unidad, y que $L/K(\mu_p)$ ser un $p$ -extensión abeliana elemental tal que $L$ también es Galois sobre $K$ . Tenemos el carácter ciclotómico $\chi: \mathrm{Gal}(K(\mu_p)/K) \hookrightarrow (\mathbb{Z}/p\mathbb{Z})^\times$ definido por $\sigma(\zeta) = \zeta^{\chi(\sigma)}$ para $\zeta \in \mu_p$ . También tenemos una acción de conjugación de $\mathrm{Gal}(K(\mu_p)/K)$ en $\mathrm{Gal}(L/K(\mu_p))$ . El hecho de la teoría de Kummer que Serre utiliza es:

Teorema : $\mathrm{Gal}(K(\mu_p)/K)$ actúa sobre $\mathrm{Gal}(L/K(\mu_p))$ como multiplicación a través del carácter ciclotómico si y sólo si $L = K(\mu_p)(x_1^{1/p},\ldots,x_m^{1/p})$ para ciertos $x_i \in K^\times$ y $m \in \mathbb{N}_0$ .

Para ver esto, dejemos $\Delta_L := (K(\mu_p)^\times \cap {L^\times}^p)/{K(\mu_p)^\times}^p$ para que $L = K(\mu_p)(\Delta_L^{1/p})$ . Tenemos la pareja perfecta de Kummer $$ \mathrm{Gal}(L/K(\mu_p)) \times \Delta_L \longrightarrow \mu_p,$$ que es $\mathrm{Gal}(K(\mu_p)/K)$ -equivariante. Dado que $\mathrm{Gal}(K(\mu_p)/K)$ actúa sobre $\mu_p$ a través del carácter ciclotómico, se deduce que la acción sobre $\mathrm{Gal}(L/K(\mu_p))$ es también mediante el carácter ciclotómico si y sólo si es trivial en $\Delta_L$ . La afirmación se desprende entonces de $$ \frac{K^\times}{{K^\times}^p} = \Bigl(\frac{K(\mu_p)^\times}{{K(\mu_p)^\times}^p}\Bigr)^{\mathrm{Gal}(K(\mu_p)/K)},$$ que es el isomorfismo $\mathrm{H}^1(K, \mu_p) \cong \mathrm{H}^1(K(\mu_p), \mu_p)^{\mathrm{Gal}(K(\mu_p)/K)}$ que se obtiene de la secuencia de inflación-restricción.