¿Es infinito un número?

Question

¿Es infinito un número? ¿Por qué o por qué no?

Algunos comentarios:
He encontrado que esto es una pregunta muy simple, donde crecí, era un arrancador de la discusión popular en la escuela primaria, pero difíciles de responder de forma inteligente. Estoy esperando ver una combinación de citas fuertes y sólido razonamiento en las respuestas.

Answer 1

Se llega a la definición de "número", como así también la definición de "infinito." Personalmente creo que no vale la pena tener una opinión sobre este tema; hay más palabras precisas que "número" y "infinito" en matemáticas. Históricamente la palabra "número" ha llegado a significar cada vez más en una lista general de las cosas:

• un entero positivo
• un entero
• un número racional
• un edificable número (por ejemplo, para los antiguos Griegos)
• un número real
• un número complejo
• un número cardinal
• un número ordinal
• un surrealista número de...

La palabra "infinito" también ha llegado a significar cada vez más en una lista general de las cosas: se puede hacer referencia a

• un countably conjunto infinito
• un uncountably conjunto infinito
• el punto en el infinito en la geometría proyectiva
• uno de los dos nuevos puntos en los dos puntos compactification de los números reales
• el punto nuevo en el punto de compactification de los números complejos, también conocida como la esfera de Riemann
• un infinito número cardinal
• un infinito número ordinal...

Algunos de estos significados son compatibles, como la lista de arriba muestra. Pero, de nuevo, no son más precisas palabras de "número" y "infinito" en matemáticas, y si usted desea conseguir en cualquier lugar que usted debe aprender de lo que esas palabras están en su lugar.

Aquí están algunos de los más palabras precisas.

• Un conjunto es una formalización de la idea intuitiva de una bolsa de objetos, y podemos hablar de finito o infinito de conjuntos. Por ejemplo, $\{ 1, 2, 3 \}$ es un conjunto finito, mientras que el conjunto de los números naturales es un conjunto infinito. Uno puede hacer aritmética con sets en el camino que conduce a la aritmética de los números naturales: por ejemplo, tomando la discontinuo de la unión corresponde a la suma, y tomando el producto Cartesiano corresponde a la multiplicación. Estas ideas conducen a la aritmética de los números cardinales, y similares ideas conducen a la aritmética de los números ordinales.
• Un anillo es una formalización de la idea intuitiva de un conjunto de cosas que se pueden agregar y multiplicar, así que, en cierto sentido se pueden considerar elementos de anillos como "generalizada de los números" (pero tenga en cuenta que no todos generalización que se enumeran más arriba puede ser interpretada en este sentido). Cuando algunas personas dicen que "el infinito no es un número," lo que significa es que usted no puede lindan con un elemento llamado $\infty$ a el anillo de $\mathbb{R}$ de los números reales tales que la suma y la multiplicación hacer lo que usted quiere que ellos hagan, el problema básico está en que $\infty - \infty$ no puede ser definido consistentemente para satisfacer las demás reglas de la aritmética si usted también quiere que sea cierto que $n + \infty = \infty$ para cualquier finito $n$.
• Un campo es un conmutativa anillo en el que también es posible dividir por cero elementos. Algunas personas les gusta decir que $\frac{1}{0} = \infty$, pero por matemáticos de la convención, el elemento $0$ nunca tiene un inverso multiplicativo en un campo, el problema básico está en que $0 \cdot \infty$ no puede ser definido consistentemente para satisfacer las demás reglas de la aritmética. Sin embargo, uno puede hacer sentido de la expresión $\frac{1}{0}$ en geometría proyectiva; describe el punto en el infinito en la línea proyectiva.
• Un espacio topológico es un resumen de la configuración de las ideas como la cercanía y tomando límites. A veces no queremos ver $\mathbb{R}$ como un anillo, sino como un espacio (el número real de la línea), y podemos hablar acerca de la incrustación de este espacio en un espacio más grande donde más existen límites: esto se conoce como compactification, y es una herramienta extremadamente útil en la física y las matemáticas. Por ejemplo, nos gustaría decir que la secuencia de $1, 2, 3, ... $ limit $\infty$, en cierto sentido, y podemos hacer esto compactifying $\mathbb{R}$.

Answer 2

La palabra «número» lleva un equipaje con él. Si $a$, $b$ y $c$ son números y $a+c=b+c$, uno espera $a=b$. Por infinito, no funciona; bajo cualquier interpretación razonable, $1+\infty=2+\infty$, % y $1\ne2$. Así que mientras que para algunos fines es útil tratar el infinito como si fuera un número, es importante recordar que no siempre actúa la manera que has acostumbrado a esperar un número para actuar.

Answer 3

Para simplificar (con respecto a Qiaochu de la respuesta), la mayoría de la gente piensa: - "número" como un número entero o real (un recuento o longitud), con su habitual propiedades de la adición y la multiplicación. - 'infinito' como un vago inalcanzable mayor que cualquier número entero o real, para que no siga las mismas reglas como enteros o reales.

Así, en común inglés, 'infinito' no es un 'número'.

Pero, por supuesto, en matemáticas, hay métodos técnicos para lidiar con un particular definido 'infinito', de modo que pueden ser manipulados en la misma frase como un número entero o real, de modo que uno se percata de que a pesar de que no comparte todas las propiedades con los llamados "números", comparte algunos.

Incluso entonces, uno no suele llamar 'infinito' un 'número', pero sí comparten algunas propiedades con ellos y puede (a veces ser manipulados con ellos). Así, uno podría decir que 'infinito' puede ser tratada como un número de veces.

Es decir, 'X es un Y' no es una cosa sencilla de responder.

Answer 4

Contestando a su pregunta: no, el infinito no es un número. Que es, para la mayoría de la gente en la mayoría de las situaciones la mayoría del tiempo, el infinito no está incluido en el conjunto de los números.

Qiaochu dio una muy buena respuesta y estoy de acuerdo con su opinión de las partes. Como Qiaochu señalado, depende en gran medida de que las definiciones que usted elija para aceptar, o utilizar, en cualquier momento dado. A veces es útil para infinidad de ser un número, otras veces no. Cuando Qiaochu habla de los anillos, conjuntos, campos y espacios, y cuando digo "a veces sí, a veces no", lo que estamos haciendo es hacer referencia a un grupo de axioma sets o conjuntos de reglas, que tiene diferentes definiciones y reglas en cuanto a lo de los números y el infinito.

Si usted está interesado en este tema se refleja en una discusión acerca de la historia de las matemáticas, sobre todo de los últimos 200 años. Básicamente, la idea de que cualquier definición o regla es "absolutamente correcto" o "absolutamente equivocado" fue descartada en favor de un mayor enfoque axiomático. Es decir, las cosas pueden ser de una manera un día, y otro camino de otro día, y a nosotros, los matemáticos, están bien con eso.

Para un rápido ejemplo concreto, pregúntate a ti mismo, "Es de 2.5 de un número?" Si usted está contando a la gente, a menudo, es absurdo considerar 2.5 un número (de ahí el chiste en la T. V. muestran). Por otro lado, si usted es la medición de la masa, puede ser absurdo ignorar 2.5 como un número. Así que la pregunta, "Es de 2.5 de un número?" no tiene una respuesta todo el tiempo. De la misma manera, la cuestión Es "infinito un número?" no tiene una respuesta todo el tiempo.

Algunos hitos interesantes sobre la historia de las matemáticas y el infinito: -Alicia en el país de las Maravillas, de Lewis Carroll, se supone que es un sarcástico tomar en el surgimiento de la matemática moderna, en particular la Geometría No Euclidiana y el Álgebra Abstracta. Carroll insiste en que la matemática se estaba bien para los últimos 2000 años, y no necesita ser ajustado. Él retrata emergentes de los conceptos matemáticos como absurdo sinsentido en el país de las maravillas. -Georg Cantor sacudió el barco con su trabajo en el infinito.

Tan lejos como se lo describe en una forma inteligente, acaba de decir que el infinito no es un número, porque el infinito es una meta de la palabra no en el conjunto, pero se utiliza para describir el conjunto. Así como las palabras "sin límites" y "no vacío" son (normalmente) no se considera como números, el infinito es (a menudo) no se considera como un número.

Answer 5

Si usted quiere tomar el tiempo para escuchar algo acerca de la historia y el uso de "infinito", a continuación, la Radio de la BBC 4 programa "En Nuestro Tiempo", se ejecutó un programa sobre este tema en el año 2003 con Ian Stewart, Profesor de Matemáticas en la Universidad de Warwick; Robert Kaplan, co-fundador del Círculo de Matemáticas en la Universidad de Harvard y autor de El Arte de la Infinita: Nuestro Lenguaje Perdido de los Números; y Sarah Rees, Lector de Matemática Pura en la Universidad de Newcastle todos los contribuyentes. Esto puede no acababa de ir a la profundidad y el rigor que usted está después de, teniendo en cuenta el "general" de la audiencia a la que va dirigida, pero bien puede ser de interés todavía.

No estoy seguro de la disponibilidad de esta para las personas que residen fuera del reino unido, sin embargo, así que esto no puede ser de uso para el OP.