Encontrar las condiciones en los enteros positivos $a, b, c$ de modo que $\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c}$ es irracional.
Mi solución: si $ab$ no es el cuadrado de un entero, a continuación, la expresión es irracional. Me parece interesante que $c$ no entra en este en todos los.
Mi solución es modelada (es decir, se copian con modificaciones) de dexter04 la solución para Demostrar que $\sqrt{3}+ \sqrt{5}+ \sqrt{7}$ es irracional .
Supongamos $\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c} = r$ donde $r$ es racional. A continuación, $(\sqrt{a}+\sqrt{b})^2 = (r-\sqrt{c})^2 \implica a+b+2\sqrt{ab} = c+r^2-2r\sqrt{c}$.
Por eso, $a+b-c-r^2+2\sqrt{ab} =-2r\sqrt{c}$. Deje $a+b-c-r^2 = k$, que va a ser un número racional. Así, $(k+2\sqrt{ab})^2 = k^2+ 4ab+4k\sqrt{ab} = 4cr^2$ o $4k\sqrt{ab} = 4cr^2-k^2- 4ab$.
Si $ab$ no es un cuadrado de un entero, a continuación, el lado izquierdo es irracional mientras que el lado derecho es racional. Por lo tanto, tenemos una contradicción.
Respuestas
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La respuesta es que si cualquiera de $a, b, c$ no es un cuadrado de un número entero, entonces $\sqrt{a} +\sqrt{b} +\sqrt{c}$ debe ser irracional.
La prueba del caso general no es muy fácil. El papel Las raíces cuadradas no tienen inesperado relaciones lineales por Qiaochu de Yuanes en https://qchu.wordpress.com/2009/07/02/square-roots-have-no-unexpected-linear-relationships/ explica esto no trivial teorema.
Para $\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c}$ a un ser racional, $ab$ ser un cuadrado perfecto, es sólo una condición necesaria, pero no suficiente (la prueba es correcta, sólo la conclusión de que es suficiente lo que está mal). La suficiente y necesaria condición es $a,b,c$ son todos los cuadrados perfectos (fácil ver que es suficiente y voy a probar es necesario).
La simetría nos permite concluir $ab=A^2,bc=B^2,ca=C^2$.
Deje $(a,b)=d$. A continuación, $a=da_1, b=db_1$ y desde $d^2a_1b_1=A^2$,$a=da_2^2, b=db_2^2$.
$bc=B^2\implies db_2^2c=B^2\implies dc=b_3^2\tag{1}$
Deje $(c,d)=D$. Entonces $c=Dc', d=Dd'$. $(1)\implies c=Dc_1^2, d=Dd_1^2$.
Por lo $(a,b,c)=(D(d_1a_2)^2,D(d_1b_2)^2,Dc_1^2)$
$$\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c}=\sqrt{D}(|d_1a_2|+|d_1b_2|+|c_1|)\in\mathbb Q\iff \sqrt{D}\in\mathbb Q$$$$\iff \sqrt{D}\in\mathbb Z\iff D=D'^2$$
He utilizado el hecho de que $\sqrt{a},a\in\mathbb Z$ es un número entero o irracional. Si es racional, pero no es un entero, entonces $\sqrt{a}=\frac{a'}{b'}, a'\nmid b'\implies a=\frac{a'^2}{b'^2}$.
Contradicción, ya que el lado izquierdo es un número entero y RHS no es ($a'\nmid b'\iff a'^2\nmid b'^2$).
$(a,b,c)=((D'd_1a_2)^2,(D'd_1b_2)^2,(D'c_1)^2)\ \ \ \square$
