Cómo demostrar que $|z^2| = |z|^2$ donde $z = a+bi$ ?

Question

Acabo de empezar mi tema sobre números complejos y estoy atascado en esta pregunta.

Lo que he conseguido (aquí me equivoco, aunque no sé dónde):

$z^2 = (a+bi)^2 = a^2 + b^2$ Así que $|z^2| = \sqrt{(a^2 + b^2)^2 + 0^2} = \sqrt{a^4+2a^2b^2+b^4}$

y

$|z| = a^2+b^2$ así que $|z|^2 = (\sqrt{a^2+b^2})^2 = a^2+b^2$

¿Sugerencias?

Answer 1

$$z^2 = (a+bi)^2 = a^2 - b^2 +2iab $$ $$|z^2| = \sqrt{(a^2 - b^2)^2 + (2ab)^2} = \sqrt{a^4+2a^2b^2+b^4}=\sqrt{(a^2+b^2)^2}$$

y

$$|z| = \sqrt {a^2+b^2}$$
$$\implies |z|^2 = (\sqrt{a^2+b^2})^2 = a^2+b^2$$

Answer 2

Si utiliza $z=r\cdot e^{i\theta}$ La prueba es fácil.

$|z^2|=|r^2\cdot e^{2i\theta}|=r^2$ y $|z|^2=r^2$ .

Answer 3

SUGERENCIA: Suponiendo que sepas lo que significa la conjugación compleja utilice $$|z|^2=z\bar z$$ para cualquier $z\in\mathbb{C}$ y $$\overline{uv}=\bar u \bar v$$ para cualquier $u,v\in\mathbb{C}$ .