Básicamente, la mayoría de nosotros sabemos que $\frac {\textrm{d}}{\textrm{d}x} \cos x = -\sin x$ . También se $ \cos (x+\frac{\pi}{2})=-\sin x$
Que hace que $$ \frac {\textrm{d}}{\textrm{d}x} \cos x = \cos (x+\frac{\pi}{2}) $$ de Modo que, por curiosidad, me preguntaba ¿qué otras funciones puede tener esta propiedad. Es bastante interesante que por la traducción de la gráfica de una función por parte de algunos vectores obtenemos la gráfica de su derivada.
Por lo tanto, aquí está mi intento:
He intentado encontrar la propiedad definitoria de esta función. Aquí vamos:
$$ f'(x)= f(x+\frac{\pi}{2}) $$ Que hace
$$ f''(x)= \left( f'(x)\right)'= f(x+\frac{\pi}{2})'=f'(x+\frac{\pi}{2})=f(x+\pi)$$
Generalmente, $$f^n(x)=f(x+n\frac{\pi}{2})$$
Con $f^n(x) $ $n$- ésima derivada de $f$.
Y estoy atascado en este paso. Lo que hace que el coseno de adaptarse a esta propiedad es que $ \cos (x+\pi)=-\cos x$, lo que le permite ser la solución de la siguiente ecuación diferencial:
$$f''(x)+f(x)=0$$
A pesar de que no quiero admitir que $f(x+\pi)=-f(x) $
Así que, por favor podría ayudarme? No hay ninguna manera de determinar todas las funciones que satisfacen la ha reconocido anteriormente propiedad? Son infinitos?
Respuesta
¿Demasiados anuncios?
Tenemos:
$$\sin(x+\pi/2)=-\sin(\pi/2-x)=\cos x=(\sin x)'$$
En realidad, $\cos(x+a)$ cualquier $a$ va a trabajar.
La aplicación de la transformada de Fourier de las reglas, su original ecuación se convierte en:
$$i\omega \hat f(\omega)=e^{i\omega \pi/2}\hat f(\omega)$$
Así que, cuando $i\omega \neq e^{i\omega\pi/2}$, $\hat f$ debe ser cero. El conjunto de soluciones a $i\omega =e^{i\omega\pi/2}$ es discreto, y contiene sólo los $-1$ $1$ sobre la línea real. Hay solución compleja? No sé.
El resultado es que el $\hat f$ debe ser una combinación lineal de funciones delta en las raíces $\omega_1,\omega_2,...$, así que $f$ es una combinación lineal de $e^{i\omega_k x}$, Los casos de $\omega=1,-1$ dar $\sin x$$\cos x$.
(Esto se corresponde con el comentario anterior, donde $\frac{\ln \lambda}{\lambda}=\frac{\pi}{2}$, mediante el establecimiento $\lambda =i\omega$.)
