Demostrar que un conjunto infinitamente contable está contenido dentro de todo conjunto incontable

Question

Soy nuevo en la teoría elemental de conjuntos y tengo esta pregunta que se me plantea.

"¿Todo conjunto incontable tiene un subconjunto propio infinitamente contable?"

Mi respuesta para esto es sí porque por definición la cardinalidad de un conjunto incontable es mayor que la del conjunto de los números naturales y por lo tanto podemos encontrar un subconjunto propio que sea equivalente al conjunto de los números naturales.

¿Es correcto lo que he entendido?

Answer 1

Si incontable se define como "infinito y no contable", entonces necesitas argumentar un poco más. Tienes que usar el hecho de que cada dos conjuntos pueden ser comparados en su cardinalidad (que es equivalente al axioma de elección); o al menos el hecho de que cada conjunto infinito tiene un subconjunto contablemente infinito (que se deduce del axioma de elección contable).

Sin embargo, sin asumir una elección contable, es consistente que haya un conjunto que no sea finito (no hay un número natural $n$ que es la cardinalidad de nuestro conjunto), pero todavía no tiene ningún subconjunto que sea contablemente infinito. Y en ese caso, la afirmación es falsa tal como está dada.

Si incontable se define como "estrictamente mayor que la cardinalidad de los números naturales", entonces tienes razón, incluso sin asumir el axioma de elección. (Algunas personas podrían optar por definir lo incontable así, y luego hacer la distinción entre "incontable" y "no contable", aunque esto me parece una elección terminológica de impar).

Answer 2

Esto es cierto, pero no es tan trivial como parece. A primera vista podríamos imaginar algún tipo de conjunto exótico que sea infinito, y que no tenga ninguna biyección con $\mathbb{N}$ (el conjunto de referencia estándar para la contabilidad), y sin embargo todos sus subconjuntos contables son finitos. De hecho, no existe ningún conjunto de este tipo bajo los axiomas habituales de la teoría de conjuntos, pero creo que se requiere el axioma de elección, o al menos de elección contable, para demostrarlo.