¿Cómo demostrar que$x^{1-x}+(1-x)^{x}\leq x^{1/2}+(1-x)^{1/2}$?

Question

Que $x\in [0,1]$, tratar de probar que: $$x^{1-x}+(1-x)^{x}\leq x^{1/2}+(1-x)^{1/2}$ $ mi intento:

que $x=\sin ^{2}t$ y es igual a ver que $$\sin^{2}t^{\cos^2{t}}+\cos^{2}t^{\sin^2{t}}\leq \sin t+\cos t$ $

pero todavía nada.

Gracias :-)

Answer 1

Es sólo un comentario, pero demasiado largo. Por lo tanto, lo escribo aquí. (Por favor, no - o downvote.)

Con la esperanza de que no he calculado mal, aquí un ejemplo: a Causa de symmetrie es suficiente para la prueba, por ejemplo,$0\leq x\leq \frac{1}{2}$ . La tangente $ax+b$ mencionado en un comentario anterior es $(\frac{1}{2}-x)\sqrt{2}\ln 2$ .

Vamos a ver la parte derecha de la alternativa de doble desigualdad en un comentario anterior: $( \frac{1}{2} -x)\sqrt{2}\ln 2\leq (1-x^{\frac{1}{2}-x})(1-x)^{-\frac{1}{2}}$

Nos pusimos $x:=\frac{1}{t}$ y transformar la desigualdad a$t^{1/t}\leq\sqrt{t}+(\frac{1}{t}-\frac{1}{2})\sqrt{2(t-1)}\ln 2 $$t\geq 2$ .

$t^{1/t}$ tiene un máximo de $t:=e$, por lo que es muy sencillo demostrar que la desigualdad se cumple para $t\geq e$.

Para$2\leq t\le e$, se pueden usar las derivaciones (ambos están disminuyendo para este rango de valor), junto

con $\enspace\max\limits_{2\leq t\leq e} (t^{\frac{1}{t}-2}(1-\ln t))= t^{\frac{1}{t}-2}(1-\ln t)|_{t=2}<\frac{1}{4} $

y $\enspace\frac{1}{4}< (\frac{1}{2\sqrt{t}}+\frac{t^2-2t+4}{4t^2\sqrt{t-1}}\sqrt{2}\ln 2)|_{t=e}= \min\limits_{2\leq t\leq e} (\frac{1}{2\sqrt{t}}+\frac{t^2-2t+4}{4t^2\sqrt{t-1}}\sqrt{2}\ln 2)$ .

Espero que esto ayude. :-)

Answer 2

Sugerencia: como vemos $x+(1-x)=1$tomar $a=x ,b=1-x \to a+b=1 , 0< a,b <1$ tiene que demostrar $$a^b+b^a \leq \sqrt a+\sqrt b$ $