Pruebe $ \left ( \dfrac {2}{5} \right )^{ \frac {2}{5}}< \ln {2}$

Question

Inadvertidamente, encuentro esta interesante desigualdad. ¿Pero este problema tiene una buena solución?

probar que $$ \ln {2}>( \dfrac {2}{5})^{ \frac {2}{5}}$$

¿Este problema tiene una buena solución? Gracias.

hace, encuentro esto $$ \ln {2}< \left ( \dfrac {1}{2} \right )^{ \frac {1}{2}}= \dfrac { \sqrt {2}}{2}$$

seguir es mi método de trabajo, utilizar esta desigualdad $$ \dfrac {x-y}{ \ln {x}- \ln {y}}> \sqrt {xy},x>y$$ entonces dejamos $x=2,y=1$

así que $$ \ln {2}< \dfrac { \sqrt {2}}{2}$$

solución 2:

desde $$ \dfrac {1}{n+1} \le\dfrac {1}{2} \cdot\dfrac {3}{4} \cdots\dfrac {2n-1}{2n}$$ entonces $$ \ln {2}= \sum_ {n=0}^{ \infty } \dfrac {1}{(n+1)2^{n+1}}< \sum_ {n=0}^{ \infty } \dfrac {(2n)!}{(n!)^22^{3n+1}}= \dfrac {1}{ \sqrt {2}}$$

solución 3

desde $$(1+ \sqrt {2})^2(t+1)-(t+1+ \sqrt {2})^2=t(1-t)>0$$ así que $$ \ln {2}= \int_ {0}^{1} \dfrac {1}{t+1}dt< \int_ {0}^{1} \left ( \dfrac {1+ \sqrt {2}}{t+1+ \sqrt {2}} \right )^2dt= \dfrac { \sqrt {2}}{2}$$ solución 4:

$$ \ln {2}= \dfrac {3}{4}- \dfrac {1}{4} \sum_ {n=1}^{ \infty } \dfrac {1}{n(n+1)(2n+1)}< \dfrac {3}{4}- \dfrac {1}{4} \left ( \dfrac {1}{1 \times 2 \times 3}- \dfrac {1}{2 \times 3 \times 5} \right )= \dfrac {7}{10}< \dfrac { \sqrt {2}}{2}$$

solución 5 $$ \dfrac {1}{ \sqrt {2}}- \ln {2}= \sum_ {n=1}^{ \infty } \dfrac { \sqrt {2}}{(4n^2-1)(17+2 \sqrt {2})^n}>0$$

Pero $$ \ln {2}> \left ( \dfrac {2}{5} \right )^{ \frac {2}{5}}$$ No puedo tener esta bonita solución

Gracias, todos pueden ayudar.

Answer 1

Este problema parece ser tan difícil de probar "elegantemente" sin la ayuda de la calculadora, es porque ha logrado encontrar una aproximación tan buena! Uno necesitaría estimar muy bien para poder probar que uno es mayor que el otro.

Las fracciones continuas pueden ser usadas para dar una prueba:

$$ \left ( \dfrac {2}{5} \right )^2 = \dfrac {4}{25} = \cfrac {1}{6 + \cfrac {1}{4}}$$ es un convergente de la la fracción continua de $$( \log 2)^5 = [0; 6, 4, 592, 1, \dots ]$$ Si tomas la CF de $( \log 2)^5$ por supuesto, la prueba de lo que quieres se cae al suelo: $ \frac {4}{25}$ es un convergente que es más pequeño (los convergentes se alternan más grandes/pequeños).

Obsérvese la aparición de la enorme $592$ que te dice que $ \dfrac {4}{25}$ será una buena aproximación, porque el convergente correspondiente a la $592$ es mayor que $( \log 2)^5$ .

Tal vez una "razón" más convincente para que sea una buena aproximación es que las fracciones continuas de $ \log 2 = [0; 1, 2, 3, 1, 6, 3, 1, \dots ]$ y $ \left ( \frac {2}{5} \right )^{2/5} = [0; 1, 2, 3, 1, 6, 3, 2, \dots ]$ que coinciden con una buena $6$ ¡Condiciones! El $7^{ \text {th}}$ El término te dice que $ \log 2$ debe ser mayor: la paridad de la posición en la que se diferencian primero dos CF determina si el que tiene el mayor número en esa posición es mayor o no (lo que también explica la propiedad de alternancia mencionada anteriormente).

Si quieres una prueba que no necesita calculadora (es decir, que se pueda verificar manualmente en una hora más o menos :-)), aquí tienes una (con cálculos que faltan):

Toma la serie de energía

$$ \log (1+x) - \log (1-x) = 2 \sum_ {n=0}^{ \infty } \frac {x^{2n+1}}{2n+1}$$

y establecer $x = \frac {1}{3}$ tienes $ \log 2$ a la izquierda.

Ahora puedes truncar las series de energía en cualquier punto, y obtener un número más pequeño que $ \log (1+x) - \log (1-x)$ ya que los coeficientes son todos positivos.

Ahora bien, si se trunca la serie en $n=4$ (incluye $n=4$ término) se obtiene el valor $ \dfrac {4297606}{6200145}$ que es mayor que $ \left ( \dfrac {2}{5} \right )^{2/5}$ . Esto se puede ver (manualmente) computando la quinta potencia y calculando la (numerador de la) diferencia de las dos fracciones que obtienes.

No entraré en más detalles, ya que son bastante tediosos para hacerlo completamente a mano sin la ayuda de ninguna calculadora, y esto probablemente no es lo que esperabas de todos modos.

Curiosamente, podría ser más fácil hacer los cálculos si se trabaja en base $9$ o $3$ (debido a los poderes de $ \frac {1}{3}$ puedes leer rápidamente algunos de los dígitos, como los algoritmos de espiga).

Answer 2

$$ \left (2 \over 5 \right )^{2/5} = 0.69314 \color {#ff0000}{ \Large 4}843155146 \ldots\ ,, \qquad\qquad \ln\left (2 \right ) = 0.69314 \color {#ff0000}{ \Large 7}180559945 \ldots $$

Así que $ \ldots $

Answer 3

Hmm, primero pensé que lo siguiente permitiría calcular la prueba mentalmente, pero, bueno... aunque me parece una notable simplificación necesitaré la calculadora de bolsillo al final. Pero veamos:

$$ \ln (2) \gt (2 / 5)^{2 /5} = \left ({16 \over 100 } \right )^{1/5} $$ También tenemos $$ \ln (2) = \ln \left ( 1+1/3 \over 1-1/3 \right ) = 2 \left ( {1 \over3 } + {1 \over 3^3 \cdot 3} + {1 \over 3^5 \cdot 5}+ \cdots \right ) \\ = {2 \over 3} \left ( 1 + { 1 \over 9 \cdot3 } + {1 \over 81 \cdot 5}+ \cdots ) \right ) $$ Gire el factor 2/3 al rhs entonces $$ 1 + 1/27 + 1/81/5+ 1/729/7 \cdots \gt \left ( {3^5 \over2 \cdot 100 } \right ) ^{1/5}= \left ( 1+{43 \over 200} \right )^{1/5} $$

Ahora en general tenemos para una quinta raíz $$ (1+x)^{1/5} = 1 + x/5 - 2(x/5)^2 + 6(x/5)^3 - 21(x/5)^4 + 399/5 (x/5)^5 - \cdots $$

Por lo tanto, debemos evaluar $$ 1 + 1/27 + 1/81/5+ 1/729/7 \cdots \gt 1 +43/1000 - 2(43/1000)^2 + \cdots $$

"En principio" esto se puede hacer con papel y pluma sólo porque los términos disminuyen rápidamente, y algunas adaptaciones de los denominadores son posibles, sin embargo, eso fue demasiado ordenado para mí. Encontré usando una calculadora (Pari/GP) que debemos evaluar el lhs con 4 términos y el rhs con 5 términos (por supuesto excluyendo los 1) para obtener la decisión - porque después de eso las sumas parciales en el lhs todavía aumentan pero en el rhs disminuyen.

Answer 4

Toma $f (x) = \frac {5} {2} \log x + \log 5 - x$ . Obviamente, $f$ se define en el intervalo $]0, \infty [$ . Desde $f ' (x) = \frac {5} {2x} - 1$ es fácil ver que $f$ aumenta en $]0, \frac {5} {2}]$ tomar su máximo a $x = \frac {5} {2}$ y disminuye en $[ \frac {5} {2}, \infty [$ . Además, como $f_{ \max } = f (x_{ \max }) > 0$ y $f (0+) = f ( \infty -) = - \infty $ hay exactamente dos números reales no negativos $x_1 < \frac {5} {2}$ y $x_2 > \frac {5} {2}$ de tal manera que $f (x_1) = f (x_2) = 0$ . Por lo tanto, concluimos que $f (x) \geqslant 0$ en $[x_1, x_2]$ . Desde $x_1 < (2/5)^{2/5} < x_2$ deberíamos tener $f \left ((2/5)^{2/5} \right ) > 0$ es decir.., $$ \log 2 - (2/5)^{2/5} >0,$$ como se desea.