He estado leyendo (en nLab) que "una prueba típica de Grothendieck consiste en una larga serie de pasos triviales en los que "parece que no pasa nada y, sin embargo, al final hay un teorema altamente no trivial". Me pregunto si hay algún ejemplo del estilo de demostración de Grothendieck que pueda entender un estudiante.
Gracias de antemano.
Es muy difícil responder a esta pregunta porque el propio Grothendieck escribió y diseñó de forma magistral teorías extremadamente abstractas, muy difíciles de seguir no sólo para un estudiante de grado o de posgrado, sino también para un matemático profesional que trabaje en los mismos campos. Se puede apreciar plenamente la profundidad de su pensamiento matemático mediante la imagen que dio de lo que significa demostrar un teorema. Dice que hay dos maneras. Una es por la fuerza bruta y la otra es la manera conceptual. Es como abrir una nuez. Se puede romper su cáscara con un acto de fuerza, pero por otro lado se puede colocar la nuez en un recipiente con agua, o un disolvente, y no hacer básicamente nada más que esperar hasta que el tiempo esté maduro y la nuez se abra por sí misma, "naturalmente" (esta es una idea clave en el pensamiento de AG). Esta es la idea de las Matemáticas que ha perseguido AG: en lugar de resolver los problemas mediante trucos, golpes de genio más o menos fortuitos, hay que trabajar conceptualmente las teorías para entender cómo se pueden generalizar para resolver un problema que en esa teoría parece imposible, y en la versión más generalizada del mismo parecerá trivial. Esta es la diferencia entre las matemáticas "complicadas" y las matemáticas conceptuales.
Las pruebas de AG, por las mismas razones, son extremadamente claras y claras de entender y leer. Hay un viejo dicho entre los estudiantes de Geometría Algebraica que lo explica todo: si no lo entiendes en Hartshorne, léelo en Grothendieck. Su estilo matemático es tan rico y claro que es casi imposible no entender sus argumentos. Si se me permite sugerir algo al alcance de un estudiante de grado (aunque bueno, claro), sugeriría la sección 0 del EGA (versión francesa), donde sólo introduce algunos conceptos de Álgebra Conmutativa, pero en su estilo. Por supuesto esto no es nada para aprender cómo trabajaba y pensaba AG, pero al menos puedes ver lo claras que eran sus demostraciones de algunos materiales clásicos (compáralo por ejemplo con algún libro conocido de Álgebra Conmutativa para ver la diferencia) y puedes empezar a tener una idea de cómo era su estilo de demostración. Para un estudiante más maduro, sugeriría leer la mayor parte de su EGA y al menos alguna parte de la SGA. También su autobiografía contiene material maravilloso sobre cómo pensaba en las matemáticas.
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